绵阳市高中2021级第四学期期末考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BDACDBCCADAC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．12215．16．2三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）设答对交通安全题目、答对消防安全题目的事件分别为，，两道题目回答得分不低于6分的事件为B， 2分则， 4分∴该队两道题目回答得分不低于6分的概率为； 5分（2）X的可能取值为3，7，11，15， 6分； 7分； 8分； 9分， 10分则Y的分布列为：Y371115P 11分所以． 12分18．解：（1）由已知得：=(a+c)， 1分=(a+b)， 2分∴b−a−c， 4分∴a﹒(b−a−c)=a﹒b−a2−a﹒c 5分=0−－0=－6； 6分（2）由题意可得a·b=a·c=0， 7分由（1）得，b−a−c，∴(b−a−c)2=b2+a2+c2－2××a·b－2××b·c+2××a·c 9分=×36+×36+×36－0－2×××6×6×cos120◦+0=38∴， 10分∴===， 11分∴异面直线AB与PQ所成角的余弦值为． 12分19．解：（1）因为，所以， 1分∵时，有极小值，∴，即，即. 2分当时，，令，即； 3分令，即或，∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得极小值，符合题目条件. 4分又，所以， 5分∴. 6分（2）由（1）可知，函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 7分令，得，， 8分①当时，则在上单调递增，，∴在上无零点； 9分②当时，则，则在上仅有一个零点， 10分=3\*GB3\*MERGEFORMAT③当时，在上单调递减，，∴在上有两个零点； 11分综上所述，当时，在上无零点；当时，在上仅有一个零点；当时，在上有两个零点． 12分20．解：（1）取AC中点O，连接DO、OB，在正△ACD和正△ABC中，，∴DO⊥AC，BO⊥AC，DO=BO=， 2分而平面平面ABC，平面平面，平面ACD，平面ABC，∴平面ABC，平面ACD， 4分又平面ABC，则有，而．∴四边形DOBE是平行四边形，则， 5分而平面ABC，平面ABC，∴DE//平面ABC． 6分（2）由（1）知，OB，OC，OD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，则A(0，−1，0)，B(，0，0)，D(0，0，)，C(0，1，0)，， 8分∴，， 9分显然平面DAC的一个法向量为， 10分设平面MAB的一个法向量为，则，令，得， 11分，∴平面AMB与平面ACD所成锐二面角的余弦值为． 12分21．解：（1）由题，的定义域为， 1分， 2分令，则， 3分∴当时，，为减函数，，；当时，，为增函数，，； 4分∴的单调递增区间为，． 5分（2）令，∴， 7分令，； 8分①当时，恒成立，则在上单调递增，∴，即，则在上单调递增，此时在上不存在最小值，不合题意； 9分②当时，若，则；若，则；∴在上单调递减，在上单调递增，又，，又，∴存在，使得，且当时，，即；当时，，即； 10分∴在上单调递减，在上单调递增，∴，即存在最小值； 11分综上所述：实数的取值范围为． 12分22．解：（1）由，得，消去，∴C的普通方程为； 2分由，得，令，，∴直线的直角坐标方程为. 4分（2）在中，令，，所以，即C的极坐标方程为， 5分联立，得， 6分∴，所以， 7分又，则，所以或或或，解得或或或， 8分由图可知，两交点位于第一、四象限，∴或， 9分∴． 10分23．解：（1）当时，等价于， 1分当时，，则， 2分当时，，则， 3分当时，，则， 4分综上所述，不等式的解集为． 5分（2）∵，当且仅当等号成立，，即， 6分∵，∴， 7分∴， 8分当且仅当，即，即，时，等号成立， 9分∴的最小值为9． 10分