赤峰市高二年级学年联考数学试题理科数学答案2023．07一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112答案AABBCDACCBDA二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．2313．0.1.14．15．217.16．27．60三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17∼21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．1ab17.证明：因为S=absinC,cosC=，---------------------------------------------4分△ABC2ab122所以S22=absinC△ABC4122=−ab(1cos2C)-----------------------------------------------------------6分42122ab=−ab1---------------------------------------------------------8分4ab1222=ab−ab---------------------------------------------------------10分4()1222于是S=ab−ab.---------------------------------------------------------12分△ABC2()18.（1）成绩上升成绩没有上升合计有家长督促的学生500300800没有家长督促的学生7005001200没有家长督促的学生12008002000---------------------------------------------------------------------------------------------------------------2分(理数答案)1/5{#{QQABYQaEogCIABBAABhCAQHQCkAQkBCAACgGxEAMoAAAyBFABAA=}#}{#{QQABaQaAggioAAAAARgCAQWgCkAQkBAACKgGhFAAsAAACBFABAA=}#}22000(500500−300700)125K2==3.4722.706---------------------------------------------4分8001200120080036有90%的把握认为家长督促学生上网课与学生的成绩上升有关联．---------------------------5分（2）从有家长督促的800名学生中按成绩是否上升，采用分层抽样的方法抽出8人，其中成绩上升的有5人，成绩没有上升的有3人，再从人中随机抽取人，随机变量X所有可能的取值为−−3,1,1,3.-----------------------------------------------------------------------------------------------------7分031221CC531CC5315CC5315PX(=−3)=3=，PX(=−1)=3=，PX(=1)=3=，C856C856C82830CC535PX(=3)=3=.-------------------------------------------------------------------------------------9分C828X的分布列如下：-3-118115155P56562828-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------10分11530103EX()=−3−1+1+3=.------------------------------------------------------------12分56565656419.（1）证明：在直角梯形ABCD中，CD=2AB=2BC=4,AB//,CDAB⊥BC.----------1分由翻折的性质可得，翻折后AE⊥⊥EC,DEAE，又DE=CE=2,CD=22.-----------------2分CD2=DE2+CE2,则DE⊥CE,故DE,,CEAE两两互相垂直.-----------------------------------3分所以以点E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz,--------------------------------4分则CDOF(0.2,0),(0,0,2),(1,1,0),(1,0,1),CD=(0,−2,2),OF=−(0,1,1)=CD2OF,即OF//CD.---------------------------------------------------------------------------------5分又CD平面EFB,OF平面EFB,CD//平面EFB.---------------------------------------------6分1112（2）设G到面BCE距离为h，则V=Sh=22h=h=1，----7分G−BCE3BCE323点G为BD的中点，-----------------------------------------------------------------------------------------8分在空间直角坐标系中，EGC(0,0,0),(1,1,1),(0,2,0),=EG(1,1,1),EC=(0,2,0)nCE=0x+y+z=0设平面GEC的法向量为n=(,,)xyz,则,即-------------------------9分nGE=020y=令x=−1，则yz==0,1,故平面的一个法向量为n=−(1,0,1).-----------------------------10分又平面BEC的一个法向量为m=(0,0,1),mn12cosmn,===.---------------------------------------------------------11分|mn|||122所以平面与平面的夹角为45。------------------------------------------------------------12分(理数答案)2/5{#{QQABYQaEogCIABBAABhCAQHQCkAQkBCAACgGxEAMoAAAyBFABAA=}#}{#{QQABaQaAggioAAAAARgCAQWgCkAQkBAACKgGhFAAsAAACBFABAA=}#}20.解（1）由已知得，令P(x,y)，则(x−1)22+y2=x+1(x−1)+y2=x2+2x+1-------------------------------------------2分24xx,0整理得，y=22x+x=.--------------------------------------------------------------4分0,x0（注：只写了yx2=4，给2分.）（2）由题意，直线l的方程为y=kx+2k+1.y=kx+21k+2联立方程组2ky−4y+4(2k+1)=0（*）--------------------------------5分yx=41（ⅰ）当k=0时，直线ly:1=与有唯一公共点,1，与yx=00()无公共点，4此时共有一个公共点.--------------------------------------------------------------------------------------6分（ⅱ）当k0时，判别式为△=−16(2kk2+−1)1①由△=02k2+k−1=0k=−1,k=.21故k=−1或k=时，方程（*）只有一个解，即直线与抛物线只有一个公共点，与2各有一个交点为(−−1,0),(4,0)，故分别有两个公共点---------------------7分1②当直线过(0,0)时，直线方程为yx=−，与交于(0,0),(16,−8)，与2无交点，故直线与轨迹共有两个公共点------------------------------------------8分211③由△02k+−−k101kk0,k−.2211故当−1k且kk0,−时，方程（*）有两个解，即直线与抛物线有两个公共点，22与有一个公共点，故直线与轨迹有三个公共点--------------------------------9分1④由△02k2+k−10k−1,或k.21故当kk−1,或时，方程（*）无实数解，即直线与抛物线没有公共点，与2有一个公共点--------------------------------------------------------------------------------------------10分综上，11当k−1,−0,时，直线轨迹有三个公共点；2211当k−,0−1,时，直线轨迹有两个公共点；221当k(−,−1)0,+时，直线轨迹有一个公共点.---------------------------------12分2(理数答案)3/5{#{QQABYQaEogCIABBAABhCAQHQCkAQkBCAACgGxEAMoAAAyBFABAA=}#}{#{QQABaQaAggioAAAAARgCAQWgCkAQkBAACKgGhFAAsAAACBFABAA=}#}21.（1）fx()=xaxx(ln−−1)=xaxxxln−2−的定义域为(0,+)，当a=1时，f(x)=−lnx2x.--------------------------------------------------------------------------1分11−2x1设g(x)=−lnx2x，则gx()=−2=，由g(x)=0得：x=，------------------------2分xx211当0x时，gx()0；当x时，gx()0，2211gx()在0,上单调递增，在,+上单调递减，2211的最大值为g=ln−1=−ln2−10，------------------------------------------------------3分22gx()0，即fx()0在上恒成立，fx()在上单调递减.------------------4分lnx1（2）（i）由f()x=g(x)得：xalnx−x2=0alnx=x=.-----------------------5分xalnx1−lnx设h(x)=(x0)，则hx()=，由hx()=0得：x=e，xx2当x(0,e)时hx()0，函数hx()单调递增，当x(e,+)时hx()0，函数单调递减，1hx()有极大值也是最大值h(e)=，----------------------------------------------------------------6分e当01x时，hx()0，当x1时，hx()0.11要使f()x=g(x)有两个不同的实数根xx,，则0，12ae即ae，即实数a的取值范围为(e,+).-----