绝密★启用并使用完毕前测试时间：年月日时分——时分辽宁省部分重点中学协作体2023-2024学年第一学期高三开学测试卷C本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设集合，集合。若，则实数的取值范围为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，，∴，故选C。2．已知扇形的半径为，周长为，则扇形的圆心角等于（）。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵扇形的弧长，∴其圆心角，故选B。3．函数的图像大致为（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】函数的定义域为，∵，∴函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B选项，当时，，，∴，排除C、D选项，A选项，为奇函数，函数值符合图像的变化规律，结合以上分析，A正确，故选A。4．已知，则（）。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，故选A。5．已知、、，则、、的大小关系是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，，，设，定义域为，则，当时，时恒成立，∴在内单调递减，∴，即，∴，∵，，∴，∴，综上所述，，故选C。6．已知函数，使得不等式恒成立的条件是（）。A、B、C、D、【答案】D【解析】，则函数在上为偶函数，且，在上均单调递增，∴在上单调递增，∵，则，∴，，故选C。7．设，若不等式在时恒成立，则的最大值为（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵，∴，∵是的反函数，∴与关于对称，原问题等价于对一切恒成立，即，令，定义域为，，令，解得，当时，，∴在内单调递减，当时，，∴在内单调递增，∴当时取得极小值，也是最小值，，又当时，，当时，，∴做函数的图像如图所示，∴，∴，故选C。8．设函数在上满足、，且在闭区间上只有，则方程在闭区间上的根的个数（）。A、B、C、D、【答案】C【解析】在上满足、，∴关于直线和直线对称，∴、，∴，∴，∴的周期为，又在闭区间上只有，则、，且当时，通过其关于直线对称，得其值对应着的值，则在闭区间上只有，同理可推得在也只有两个零点，∵，则在共有个零点，∵，且在的图像与的图像相同，则在上有个零点，则方程在闭区间上的根的个数为个，故选C。【点睛】利用零点存在性定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图像与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个零点。二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分。9．下列函数的定义域均为，则最小值是的函数有（）。A、B、C、D、【答案】AD【解析】A选项，，可得，当时取等号，又，∴在区间内的最小值是，对，B选项，，，∴在区间内的最小值不是，错，C选项，，，当时取等号，又，∴在区间内的最小值不是，错，D选项，，，当时取等号，又，∴在区间内的最小值是，对，故选AD。10．如图是函数的导函数的图像，则以下命题正确的是（）。A、是函数的极值点B、函数在处切线的斜率小于零C、函数在处取最小值D、函数在区间内单调递增【答案】AD【解析】根据导函数的图像可得，当上，，在上，，故当时单调递减，当和时单调递增，∴是函数的极小值点，∴A选项对，由图像可得，∴函数在处的切线的斜率大于零，∴B选项错，由图像可知时函数的单调性不变，则在处函数不可能取得最小值，∴C选项错，由图像可得，当时，，∴函数在内单调递增，∴D选项对，故选AD。11．下列命题正确的是（）。A、若、均为第一象限的角，且，则B、C、函数是周期函数且最小正周期为D、函数的单调递增区间为（）【答案】BC【解析】A选项，若、，则、均为第一象限的角，且，但，错，B选项，∵、、，∴，对，C选项，做函数的图像如图所示，则是周期函数且最小正周期为，对，D选项，令，即，即，即，解得或（），即或（），令，即，即，即，解得或（），即或（），∴的定义域为（），，∴的最小正周期为∴的单调递增区间为和，，单调递减区间为和，，错，故选BC。变式1：下列结论正确的是（）。A、若，则是第一象限角或第二象限角B、C、函数的最小正周期为D、函数与函数的图像交点的个数为【答案】CD【解析】A选项，当时，，此时既不是第一象限角，也不是第二象限角，错，B选项，∵，∴，∴，错，C选项，，∴函数的最小正周期为，对，又：，∴函数的最小正周期为，对，D选项，设，则的定义域为，，∴为奇函数，当时，，当时，，∴当时，无零点，证明：如图所示，在单位圆中，，，当时，，则，则，则。根据奇函数性质可知，当时，无零点，又，∴在内有唯一一个零点，∴与的图像交点的个数为，对，故选CD。变式2：下列命题正确的是（）。A、函数是偶函数B、函数的最小正周期为C、把函数的图像向右平移个单位长度后可以得到的图像D、函数在区间内为单调递减函数【答案】ABC【解析】A选项，的定义域为，，对，B选项，，最小正周期，对，C选项，把的图像向右平移个单位长度后得到的图像，对，D选项，，在区间内为单调递增函数，错，故选ABC。12．已知、是函数与函数的图像的两条公切线，记的倾斜角为，的倾斜角为，且、的夹角为（），则下列说法正确的有（）。A、B、C、若，则D、与的交点可能在第三象限【答案】ABC【解析】如图所示，∵与互为反函数，∴两函数的图像关于直线对称，则、关于对称，∴，，A选项对，由题意可知、均为锐角，∴且，，当且仅当，即，即时取等号，B选项对，设与两个函数图像分别切于、两点，，则，即，解得（舍去）或（可取），∴，对于，则，令，解得，∴切点为，∴曲线的斜率为的切线方程为，∴曲线的斜率为的切线方程为，同理可得的斜率为的切线方程为，∴曲线的斜率为的切线方程为，∴，则，则，C选项对，由图可知点必在第一象限，D选项错，故选ABC。三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。13．如果函数（）的导函数是偶函数，则曲线在原点处的切线方程为。【答案】【解析】的定义域为，，又∵是偶函数，∴，∴，∴，∴，，又∵切点为原点，∴切线斜率，∴切线方程为，即。14．已知函数，SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT其中SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT，若存在实数，使得关于的方程有三个不同的根，则实数的取值范围为。【答案】SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT【解析】画出函数图像如图所示，要SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即，解得SKIPIF1<0\*MERGEFORMAT。15．已知正数、满足，当时，取得最小值，最小值是。（本小题第一个空2分，第二个空3分）【答案】【解析】由可得，∴，当且仅当，即时等号成立，此时取得最小值，。16．将函数（）的图像与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为、、、…、，在点列中存在四个不同的点成为某菱形的四个顶点，将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则。【答案】【解析】根据题意作出图像如下，设的最小正周期为，若为菱形，则，又且，∴，解得，若为菱形，则，又且，∴，解得，若为菱形，则，且，又且，∴，解得，∴满足，，∴。【点睛】本题考查正弦型函数的图像及性质的应用，数列的通项，考查逻辑推理能力、数形结合思想，属于中档题。四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分分）已知函数（，，）的图像如图所示。（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像上每一点的横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，再向上平移个单位，得到函数的图像，求函数的图像的对称轴方程和对称中心坐标。【解析】（1）由图像可得，，解得，2分，解得，，∵，∴，∴；4分（2）由题意可知，6分令，解得，，∴函数的图像的对称轴方程为，，8分令，解得，，∴函数的图像的对称中心坐标为，。10分18．（本小题满分分）函数（），对任意、，都有且。（1）求的值；（2）证明：；（3）若的最大值为，求函数的解析式。【解析】（1）∵，∴，又恒成立，∴，2分∵，∴，又恒成立，∴，4分∴，∴，∴；5分（2）∵，∴，又恒成立，∴，7分即，又由（1）可知，∴，解得；8分（3），∵，∴，10分∴当时，取得最大值为，∴，11分∴、，∴。12分19．（本小题满分分）定义在上的函数，若满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界。（1）设，判断在上是否为有界函数，若是，请说明理由，并写出的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围。【解析】（1），∴在上是增函数，2分∴，即，∴，4分∴为有界函数，所有上界的集合为；5分（2），在上是以为上界的有界函数，∴在上恒成立，7分∴在上恒成立，9分而的在定义域上的最大值为，在定义域上的最小值为，∴，则实数的取值范围为。12分20．（本小题满分分）设函数（），曲线过点，且在点处的切线方程为。（1）求实数、的值；（2）证明：当时，；（3）若当时，恒成立，求实数的取值范围。【解析】（1）的定义域为，，1分∵，，∴，；3分（2）由（1）可知，，设（），，4分，当时，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，∴，∴；6分（3）设，定义域为，，从（2）可知，∴，∴，8分①当即时，，∴在单调递增，∴，成立，9分②当即时，，，令，得，当时，，∴在上单调递减，∴，不成立，11分综上所述，实数的取值范围为。12分21．（本小题满分分）已知函数。（1）讨论函数的单调性；（2）是否存在最小的正常数，使得：当时，对于任意正实数，不等式恒成立？给出你的结论，并说明结论的合理性。【解析】（1）函数的定义域为，，令，解得，2分当时，，∴在上单调递减，3分当时，，∴在上单调递增；4分（2）存在，理由如下：，5分构造函数，定义域为，则，6分令，定义域为，，显然是减函数，且，∴函数在上单调递增，在上单调递减，而，8分，，∴在区间和上各有一个零点，分别为和，并且在区间和上，即，在区间上，即，从而可知在区间和上单调递减，在区间上单调递增，，当时，，时，，而是函数的极大值，则题目要求的，理由如下：当时，对于任意非零整数，，而在上单调递减，∴恒成立，说明，当时，取，则且，题目中的不等式不能恒成立，∴说明不能比小，11分综合可知，题目要求的最小正常数为，即存在，当时，对于任意正实数，不等式恒成立。12分22．（本小题满分分）已知函数（）。（1）讨论函数的单调性；（2）设函数有两个极值点、（），证明：。【解析】（1）的定义域为，，1分设，令，，①当时，，恒成立，在上单调递减，②当时，，的个根为、，，当或时，，在和上单调递减，当时，，在上单调递增，③当时，，的个根为、，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减；4分（2）∵有两个极值点、，∴由（1）可知，且、，∴，要证，即证，只需证，，7分令，定义域为，则，令，则恒成立，∴在上单调递减，又、，由零点存在性定理得，使得，即，∴当时，，单调递增，当时，，单调递减，则在处取得极大值也是最大值为：，10分令，，则当时，，∴在在上单调递增，∴，∴，即。12分【点睛】隐零点问题求解三步曲：（1）用函数零点存在定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的取值范围；（2）以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；（3）将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明，有时（1）中的零点范围还可以适当缩小。