棠湖中学高2021级高三10月考试数学（理工类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则A. B. C. D.【答案】B【解析】【详解】由题意，集合，所以，故选B.2.下列函数中，在区间上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由二次函数，分式函数，指数函数，对数函数的函数特征分别讨论单调区间可求解．【详解】选项A是开口向下，对称轴为x=0的二次函数，所以在是单调递减，不符．选项B为分式函数，定义域为，所以只有两个减区间，也不符，选项C是底数属于(0,1)的指数函数，所以在R上单调递减，不符．选项D是定义在上以10为底的对数函数，所以在上单调递增，符合，故选：D.3.已知，条件，条件，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式证明充分性，利用特殊值证明必要性不成立，即可判断；【详解】解：因，由，得：，则，当且仅当时取等号，因此推得出，即充分性成立，取，满足，但，即推不出，即必要性不成立，所以是的充分不必要条件，故选：A4.古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（）A.半圆柱和四棱台 B.球的和四棱台C.半圆柱和四棱柱 D.球的和四棱柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特征.【详解】由几何体的三视图可知：该几何体上面是球的，下面是放倒的四棱柱.故选：D【点睛】本题考查了几何体的三视图还原直观图，考查了空间想象能力，属于基础题.5.已知，且，则的值为（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】，，.故选：A.6.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离随时间的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数的部分图像得到或，并分别讨论或时的解析式【详解】解：设该曲线对应的函数解析式为，由图可知，或，，则，当时，，由，解得，因为，所以，所以；当时，，由，解得，因为，所以，所以；故选：A7.方程的两根为，，且，则A. B. C. D.或【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理求出与的值，由两角和的正切公式求得，从而可得结果.【详解】∵方程的两根为，，且，∴，，再结合，故，，∴，故．又，∴，故选B．【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8.将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的()倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，若函数在区间上是增函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据图象变换求解出的解析式，然后结合正弦函数的单调增区间以及的周期的范围，列出关于的不等式组并求解出的取值范围.【详解】将函数的图象经过变化后得到的图象，令()，即()，∵在上是增函数，∴，又，∴，令时，解得，当且时，不符合题意，故选：B.【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数（或）的单调区间求解参数范围的步骤：（1）根据函数以及单调性列出关于的不等式；（2）将单调区间的端点值代入关于的不等式中，同时注意到单调区间的长度不会超过半个周期；（3）由（1）（2）列出关于参数的所有不等式，由此求解出参数范围.9.函数，则（）A.0 B. C.4 D.1【答案】C【解析】【分析】首先设，则，根据对数的运算法则知，再计算即可.【详解】设，因为.所以.故选：C【点睛】本题主要考查对数的运算，熟练掌握对数的运算法则为解题的关键，属于中档题.10.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先构造函数，利用导数判断函数的单调性，再利用，判断函数值的大小，即可判断选项.【详解】，，，设，且，令，得，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，因为，且，所以，即.故选：B11.在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若，且，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】结合题意，利用三角形相似得到，取线段PE的中点F，连接DF，AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半径，代入外接球的表面积公式即可求解.【详解】如图，因为P-ABC为正三棱锥，所以，．取线段PE的中点F，连接DF，AF，因为D为PB的中点，所以，．因为AD⊥BE，所以．在中，，由勾股定理，得．设，PA=x，在中，由余弦定理的推论，得①．同理，在中，由余弦定理的推论，得②．联立①②，解得，．在中，由余弦定理，得，所以．取的中心，连接，，则平面ABC，三棱锥P-ABC的外接球球心O在上，连接OA，设外接球半径为R．在中，OA=R，，所以，所以，所以，即，解得，所以所求外接球的表面积为．故选：C．12.定义在上的奇函数，满足，当时，，，则函数在的零点个数为（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求得时，的解析式，结合的奇偶性和对称性画出在区间的图象，由来确定的零点个数.【详解】是定义在上的奇函数，，当时，，，，所以当时，.奇函数，图象关于原点对称，由于，所以图象关于直线对称，由此画出在区间的图象如下图所示，由图可知有个解，也即有个解，即有个零点.故选：D第II卷非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知是虚数单位，则复数的实部为______.【答案】0【解析】【分析】利用复数的除法计算即得解.【详解】解：，所以复数的实部为0.故答案为：014.若，满足，则的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点，，令，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系，画直线：，平移直线到直线，当直线过点A时，直线的纵截距最小，最小，，所以的最小值是1.故答案为：115.已知函数，若，使成立，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】【分析】不等式存在性问题，转化成求最值，解不等式即可.【详解】因为在单调递减，所以当x=2时，f(x)取最小值2a+2若，使成立，只需f(x)min<0即可，即，得，满足.所以实数的取值范围.故答案为：.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．16.关于函数有如下四个结论：①对任意，都有极值；②曲线的切线斜率不可能小于；③对任意，曲线都有两条切线与直线平行；④存在，使得曲线只有一条切线与直线平行．其中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】举反例否定①；求得导函数的取值范围判断②；取特例否定③；取特例证明④.【详解】对①：当时，，为增函数，无极值.所以①错误;对②：，所以②正确．对③：当时，，设切点，由，可得或则切点为或则所求切线方程为或这两条切线中与平行，与重合.即当时，曲线只有一条切线与直线平行，且这条切线的切点的横坐标为，所以③错误；对④：由③可知，④正确．故答案为：②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在△ABC中，∠ACB＝，BC＝2，P是△ABC内的一点，△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△APC的面积为．（1）求PA长；（2）求cos∠APB的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，求得的值，利用面积公式求得的长，再由余弦定理求得的长；（2）在三角形中，用正弦定理求得的值，再利用诱导公式求得的值.【详解】（1）由题设∠PCA＝，PC＝，AC·PC·sin＝，得AC＝3．（或由题设AC·BC＝，得AC＝3．）在△PAC中，由余弦定理得PA＝＝．（2）在△APC中，由正弦定理得，得sin∠APC＝．于是cos∠APB＝cos(－∠APC)＝－sin∠APC＝．【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.题目的突破口在于三角形为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出角度和边长，再结合正弦定理和余弦定理适用的条件，即可求得题目所求.属于中档题.18.已知函数，且．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数有最值，写出的取值范围．（只需写出结论）【答案】（1）（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分和两种情况讨论，讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（3）由（2）中的结论判断即可.【小问1详解】解：当时，由题设知.因为，所以.所以在处的切线方程为.【小问2详解】解：因为，所以.当时，定义域为.且故的单调递减区间为，，，当时，定义域为，当变化时，，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增极大值单调递减故的单调递减区间为，，单调递增区间为．综上所述，当时，的单调递减区间为，，，当时，故的单调递减区间为，，单调递增区间为．【小问3详解】解：由（2）可知要使函数有最值，则，使得函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，且当时，当时，所以在处取得极小值即最小值，在处取得极大值即最大值.19.如图，，，平面，，，．（1）证明：；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由平面，证得平面平面，证得平面，得到，证得平面，得到，从而证得，进而证得平面，即可得到.（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求出二面角即可.【小问1详解】取D为线段BC中点，连接AD与DB1，平面，平面，平面平面，平面平面．又是以BC为斜边的等腰直角三角形，，平面．平面，．，平面，平面，平面，，，与都为直角三角形，又，．，，，，．平面，平面，，平面，平面，．【小问2详解】，平面，，，又．以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，则，，，．轴平面，取平面一个法向量．设平面一个法向量为，，，由，，可得．．二面角的正弦值为．20.已知函数（）图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的单调递增区间以及图象的对称中心坐标；（2）是否存在锐角，，使，同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）递增区间为（）；对称中心坐标为（）（2）存在；，【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；（2）由诱导公式可得，又，代入化简可得，。【小问1详解】解：，由图象的相邻两条对称轴之间的距离为，得的最小正周期，解得．所以，由（），得（），所以的递增区间为（），由（），得（）；所以图象的对称中心的坐标为（）．【小问2详解】解：存在．因为，，所以，所以．又，，所以，即，即，即，即，所以，由为锐角，得，