第9讲综合题一．选择题（共8小题）1．（2018•西城区校级模拟）在等腰梯形中，，且，，，其中，以，为焦点且过点的双曲线的离心率为，以，为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式恒成立，则的最大值为 A． B． C． D．【解答】解：在等腰梯形中，，由双曲线的定义可得，，，由椭圆的定义可得，，，则，令，则在上单调递减，所以，则，则，故的最大值为故选：．2．如图，等腰梯形中，，且，，，以，为焦点，且过点的双曲线的离心率为．以，为焦点，且过点的椭圆的离心率为，动点在边上，且，对恒成立，则的最大值为 A． B．2 C． D．不存在【解答】解：在等腰梯形中，，由双曲线的定义可得，，；由椭圆的定义可得，，，则，令，则在上递减，则，则有的取值范围为，．由于，对恒成立，则有．即有的最大值为．故选：．3．（2020•河南模拟）已知双曲线的左右焦点分别为，，过点的直线与双曲线的左支相交于点，与双曲线的右支相交于点，为坐标原点．若，且，则双曲线的离心率为 A． B． C．2 D．【解答】解：设，则，，，同理，，，，，在，中，，即，得，有，，在△，中，由，即，得，即离心率，故选：．4．（2020•广东一模）已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于，两点，且，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为，联立，解得，，，且轴，，，则，则，得，即．故选：．5．（2020•九江二模）已知双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆．与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：双曲线的左右焦点分别为，，以原点为圆心，为半径的圆，与双曲线的右支相交于，两点，若四边形为菱形，可得：，，代入双曲线方程可得：，可得：，，解得．故选：．6．（2021•陕西模拟）已知是双曲线的右焦点，为坐标原点，与双曲线交于在第一象限），两点，，且，则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．【解答】解：设双曲线的左焦点为．则为平行四边形，．因为，所以，所以．因为．所以．所以，得，故离心率．故选：．7．（2019•桂林一模）设抛物线的焦点为，其准线与双曲线的两个交点分别是，，若存在抛物线使得是等边三角形，则双曲线的离心率的取值范围是 A．， B． C．， D．【解答】解：抛物线的焦点为，其准线，双曲线的两个交点分别是，，，，是等边三角形，可得，可得，所以双曲线的离心率：．双曲线的离心率的取值范围是：，．故选：．8．（2012•江西模拟）设抛物线的焦点是双曲线右焦点．若与的公共弦恰好过，则双曲线的离心率的值为 A． B． C． D．2【解答】解：由题意，交点为，，代入双曲线方程得，又，化简得，故选：．二．多选题（共2小题）9．（2020•潍坊一模）已知双曲线，则不因改变而变化的是 A．焦距 B．离心率 C．顶点坐标 D．渐近线方程【解答】解：双曲线，可化为．，．，，渐近线，故选：．10．（2020秋•山东月考）已知双曲线，过其右焦点的直线与双曲线交于两点，，则 A．若，同在双曲线的右支，则的斜率大于 B．若在双曲线的右支，则最短长度为2 C．的最短长度为 D．满足的直线有4条【解答】解：双曲线的，，，渐近线方程为，若，同在双曲线的右支，且直线垂直于轴，可得直线的斜率不存在，故错误；当垂直于轴时，可令，可得，即，当为实轴时，，，，故正确；当垂直于轴时，，当为实轴时，，而，则的最短长度为6，故错误；若，同在双曲线的右支，由于，可得过的直线有两条；若，分别在双曲线的一支上，由，可得过的直线有两条，则满足的直线有4条，故正确．故选：．三．填空题（共2小题）11．（2015秋•台州校级月考）在等腰梯形中，，且，，，其中，以、为焦点且过点的双曲线的离心率为，以、为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意，不等式恒成立，则的最大值为 ．【解答】解：对于双曲线，，，，故，故，对于椭圆，，，，故，故，令，，故，，由对勾函数的单调性及复合函数的单调性知，在上是减函数，故，故若对对任意，不等式恒成立，则，故答案为：．12．（2020•泉州二模）如图1，已知四面体的所有棱长都为，，分别为线段和的中点，直线垂直于水平地面，该四面体绕着直线旋转一圈得到的几何体如图2所示，若图2所示的几何体的正视图恰为双曲线的一部分，则的方程为 ．【解答】解：通过补形，将该四面体放入正方体中，使得四面体的棱恰好时正方体的面对角线，易得正方体的棱长为2，对棱，的中点间的距离等于正方体的棱长2，故双曲线的实轴长为2，该双曲线过点，，则，故双曲线的方程为．故答案为：．