专题08数列专题（新定义）一、单选题1．（2023春·甘肃张掖·高二高台县第一中学校考阶段练习）对于正项数列中，定义：为数列的“匀称值”已知数列的“匀称值”为，则该数列中的（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】确定，取和带入式子，相减得到答案.【详解】，即，故；；两式相减得，所以．故选：D2．（2023春·浙江·高三开学考试）对任意正整数对，定义函数如下：，，则（     ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据新定义得，令即可判断A，根据累乘可判断B，利用二项式定理求得，结合判断C，，结合等比数列的前项和公式判断D.【详解】，令，则，，A错误；，累乘得：，，令，则B错误；因为，所以，，则C正确；，则D错误．故选：C．3．（2023春·安徽·高二合肥市第八中学校联考开学考试）定义：对于数列，如果存在一个常数，使得对任意的正整数恒有，则称数列是从第项起的周期为T的周期数列．已知周期数列满足：，，（），则（    ）A． B． C． D．1【答案】D【分析】写出周期数列的前几项，发现周期为6，进而求得的值.【详解】写出周期数列的前几项：1，3，2，，，，1，3，2，，，，1，…，发现周期数列是周期为6的周期数列，∴．故选：D．4．（2023秋·福建南平·高二统考期末）若数列的前n项和为，，则称数列是数列的“均值数列”．已知数列是数列的“均值数列”且，设数列的前n项和为，若对恒成立，则实数m的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由新定义求得，然后由求得，从而可求得（裂项相消法）后得的最小值，解相应不等式可得结论．【详解】由题意,即,∴时，，又，∴时，，，，易知是递增数列，∴的最小值是（时取得），由题意，解得．故选：B．5．（2023秋·山西长治·高三校联考阶段练习）对于一个项数列，记的“Cesaro平均值”为，若数列的“Cesaro平均值”为2022，数列的“Cesaro平均值”为2046，则（    ）A．24 B．26 C．1036 D．1541【答案】B【分析】先求出的值，再根据Cesaro平均值的求法列出等式，即可求出的值.【详解】因为数列的“Cesaro平均值”为，所以.因为的“Cesaro平均值”为，所以，所以，解得，故选:B.6．（2023春·湖北咸宁·高二校考开学考试）等比数列中，公比，用表示它的前项之积，则，，…，中最大的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意分析的符号，结合前项之积的性质运算求解.【详解】∵，则当为奇数时，，当为偶数时，，∴当或时，，当或时，，由题意可得：，令，解得，若取到最大，则，，即中最大的是.故选：C.7．（2022秋·北京·高二北京二中校考期末）如果数列满足（k为常数），那么数列叫做等比差数列，k叫做公比差．下列四个结论中所有正确结论的序号是（    ）①若数列满足，则该数列是等比差数列；②数列是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④【答案】B【分析】根据比等差数列的定义(为常数)，逐一判断①②③④是否是等比差数列即可可得到答案.【详解】①数列满足，则，满足等比差数列的定义，故①正确；②数列，，不满足等比差数列的定义，故②错误；③设等比数列的公比为，则，满足等比差数列，故③正确；④设等差数列的公差为，则，故当时，满足，故存在等差数列是等比差数列，即④正确；故答案为：①③④故选：B.8．（2019秋·北京·高三101中学校考阶段练习）定义在上的函数，如果对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在上的如下函数：①；②；③；④，其中是“保等比数列函数”的序号为（    ）A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】C【分析】根据新定义，结合等比数列性质，一一加以判断，即可得到结论．通过积的乘方，即可判断①；通过指数的幂的运算，即可判断②；通过积的运算即可判断③；由对数的运算法则，即可判断④．【详解】设是等比数列，由等比数列性质知，对于①，，即仍是等比数列，故正确；对于②，，即不是等比数列，故不正确；对于③，，即是等比数列，故正确；对于④，，即不是等比数列，故不正确；故选：C．9．（2023秋·吉林·高二吉林一中校考期末）若数列满足，则称为“必会数列”，已知正项数列为“必会数列”，若，则（    ）.A． B．1 C．6 D．12【答案】D【分析】根据数列新定义可得数列是以为公比的等比数列，利用等比数列通项公式，即可求得答案.【详解】由题意数列满足，可得，故正项数列是以为公比的等比数列，则，故选：D10．（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意的，均有，则称是间隔递增数列，是的间隔数.若是间隔递增数列，则数列的通项不可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据间隔递增数列的定义求解即可.【详解】对于A：，化简得：，存在正整数，使得对任意的，恒成立，所以是间隔递增数列；对于B：，因为为正整数且，所以，所以，所以是间隔递增数列；对于C：，因为为正整数且，所以，所以，所以是间隔递增数列；对于D：，当正奇数，时，，的正负由的奇偶性决定，此时不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；当正偶数，时，，的正负由的奇偶性决定，此时不恒成立，不符合间隔递增数列的定义；故选：D.11．（2023·全国·高三专题练习）对于数列，若存在正整数，使得，，则称是数列的“谷值”，k是数列的“谷值点”．在数列中，若，则数列的“谷值点”为（    ）A．2 B．7 C．2，7 D．2，5，7【答案】C【分析】先求出，，，，，，，，再得到，，，结合数列的单调性以及谷值点的定义即可得求解．【详解】因为，所以，，，，，，，，当，，，所以，因为函数在上单调递增，所以时，数列为单调递增数列，所以，，，，所以数列的“谷值点”为，．故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）若数列满足，则称为“对奇数列”．已知正项数列为“对奇数列”，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得，进而可得为等比数列，再求得通项公式即可.【详解】由题意得，所以，又，所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以．故选：D．13．（2022春·辽宁葫芦岛·高二校联考阶段练习）设表示落在区间内的偶数个数.在等比数列中，，，则（    ）A．21 B．20 C．41 D．40【答案】C【分析】设的公比为q，根据和求出，从而得和，再根据的定义可求出结果.【详解】设的公比为q，则，所以，则，所以.所以落在区间内的偶数共有41个，故.故选：C14．（2023春·湖北·高三黄冈中学校联考开学考试）对于数列，定义为数列的“加权和”，已知某数列的“加权和”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数p的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据与的关系求出，再根据等差数列的求和公式求出，将化为对任意的恒成立，分类讨论可求出结果.【详解】由，∴时,，∴，∴，时，也成立，∴，∴数列的前n项和为：，∵对任意的恒成立，∴，即，即，即，即，即对任意的恒成立，当时，对任意的恒成立，因为，∴，所以，当时，恒成立，，当时，对任意的恒成立，因为，∴，所以，综上可得：实数p的取值范围为．故选：A．15．（2023·全国·高三专题练习）若数列满足：若，则，则称数列为“等同数列”．已知数列满足，且，若“等同数列”的前项和为，且，，，则（    ）A．4711 B．4712 C．4714 D．4718【答案】D【分析】先对已知关系式变形，求出数列的通项公式，再利用“等同数列”的定义与已知条件得是周期数列，即可得．【详解】由得，则，故,所以，，，所以，所以，因为，所以，解得，同理得，，，…，故数列是以3为周期的数列，所以，故选:D．16．（2022·全国·高三专题练习）设数列，若存在常数，对任意小的正数，总存在正整数，当时，，则数列为收敛数列．下列关于收敛数列说法正确的是（    ）A．若等比数列是收敛数列，则公比B．等差数列不可能是收敛数列C．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列D．设数列的前项和为，满足，，则数列是收敛数列【答案】C【分析】根据题中定义，结合特殊的等差数列和等比数列、数列的周期性、等差数列前项和公式逐一判断即可.【详解】当数列为常数列（不为零），因此该数列是等差数列又是等比数列，显然该数列是收敛数列，因此选项AB不正确；选项C：设等差数列的公差为，所以，当时，当时，，所以数列一定是收敛数列，因此本选项正确；选项D：因为，，所以可得，当时，由，两式相减，得，所以，所以该数列的周期为，该数列不可能是收敛数列，因此本选项说法不正确，故选：C【点睛】关键点睛：利用数列的周期性、常数列的性质是解题的关键.17．（2022春·安徽亳州·高三蒙城县第六中学校联考开学考试）设数列：，，…，，若存在公比为q的等比数列：，，…，，使得，其中，2，…，m，则称数列为数列的“等比分割数列”.若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，则数列的公比q的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得，，从而可得且，可得，再根据指数函数的单调性求出的最小值即可【详解】由题意可得，，所以，且，当时，成立；当，3，…，10时，应有成立，因为在R上单调递增，所以随着n的增大而减小，故，综上，q的取值范围是.故选：C.18．（2022春·江苏无锡·高二江苏省江阴市第一中学校考开学考试）若数列{an}满足……，则称数列{an}为“半差递增”数列.已知“半差递增”数列{cn}的前n项和Sn满足，则实数t的取值范围是（ ）A． B．（-∞，1）C． D．（1，+∞）【答案】A【分析】根据,利用递推公式求得数列的通项公式.再根据新定义的意义,代入解不等式即可求得实数的取值范围.【详解】因为所以当时,两式相减可得,即,所以数列是以公比的等比数列当时,所以，则由“差半递增”数列的定义可知化简可得解不等式可得即实数的取值范围为故选：A.19．（2022·浙江·高二学业考试）通过以下操作得到一系列数列：第1次，在2，3之间插入2与3的积6，得到数列2，6，3；第2次，在2，6，3每两个相邻数之间插入它们的积，得到数列2，12，6，18，3；类似地，第3次操作后，得到数列：2，24，12，72，6，108，18，54，3.按上述这样操作11次后，得到的数列记为，则的值是（    ）A．6 B．12 C．18 D．108【答案】A【分析】设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，从而可得，从而可求出，从而可知经过11次拓展后在与6之间增加的数为，由此可得出经过11次拓展后6所在的位置，即可得出答案.【详解】解：设数列经过第次拓展后的项数为，因为数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，则经过第次拓展后增加的项数为，所以，即，即，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，是以，所以，则经过11次拓展后在与6之间增加的数为，所以经过11次拓展后6所在的位置为第，所以.故选：A.二、多选题20．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）若数列满足：对任意正整数为递减数列，则称数列为“差递减数列”．给出下列数列，其中是“差递减数列”的有（    ）A． B．C． D．【答案】CD【分析】利用差递减数列的定义及函数的单调性即可求解.【详解】对A，若，则，由函数在上单调递增，所以为递增数列，故错误；对B，若，则，由函数在上单调递增，所以为递增数列，故B错误；对C，若，则，由函数在上单调递减，所以为递减数列，故C正确；对D，若，则，由函数在上单调递减，所以为递减数列，故D正确．故选：CD．21．（2023春·江西新余·高二新余市第一中学校考阶段练习）若数列满足：，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”，下列说法正确的有（    ）