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高考数学专题12 圆锥曲线【多选题】(解析版)
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专题12圆锥曲线1.已知三个数成等比数列,则圆锥曲线的离心率为()A. B. C. D.【答案】BC【解析】由等比数列的性质求出,再判断曲线类型,进而求出离心率由三个数成等比数列,得,即;当,圆锥曲线为,曲线为椭圆,则;当时,曲线为,曲线为双曲线,,则离心率为:或故选:BC2.若双曲线的一个焦点,且渐近线方程为,则下列结论正确的是()A.的方程为 B.的离心率为C.焦点到渐近线的距离为 D.两准线间的距离为【答案】AD【解析】先根据双曲线的几何性质求出其标准方程,再根据方程求出其它性质,再逐一判断各选项.由题意设双曲线的标准方程为,焦距为,∵双曲线的一个焦点,且渐近线方程为,∴,解得,∴双曲线的标准方程为,A对;∴其离心率为,B错;焦点到渐近线的距离,C错;准线方程为,则两准线间的距离为,D对;故选:AD.3.当时,方程表示的轨迹可以是()A.两条直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线【答案】ACD【解析】将分为三种情况进行分类讨论,由此确定正确选项.当时,.方程可化为,表示焦点在轴上的椭圆.当时,,方程化为,表示两条直线.当时,,.方程可化为,表示焦点在轴上的双曲线.所以曲线不可能表示圆.故选ACD.4.若方程所表示的曲线为C,则下面四个命题中正确的是()A.若1<t<5,则C为椭圆B.若t<1.则C为双曲线C.若C为双曲线,则焦距为4D.若C为焦点在y轴上的椭圆,则3<t<5【答案】BD【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质,逐项判定,即可求解,得到答案.由题意,若方程表示椭圆,则满足,解得或,对于A中,当时,此时方程表示圆,所以不正确;当方程表示焦点在轴上椭圆,则满足,解得,所以D项正确;对于B中,当时,,此时表示焦点在轴上的双曲线,所以是正确的;[来源:学科网ZXXK]对于C中,当时,方程,此时双曲线的焦距为,所以不正确.故选BD.(注意:[来源:学,科,网Z,X,X,K]若方程表示椭圆,则满足,解得或.)5.已知双曲线过点且渐近线为,则下列结论正确的是()A.的方程为 B.的离心率为C.曲线经过的一个焦点 D.直线与有两个公共点【答案】AC【解析】根据题意得到双曲线的方程,结合双曲线的性质逐一判断即可.对于选项A:由已知,可得,从而设所求双曲线方程为,又由双曲线过点,从而,即,从而选项A正确;对于选项B:由双曲线方程可知,,,从而离心率为,所以B选项错误;对于选项C:双曲线的右焦点坐标为,满足,从而选项C正确;对于选项D:联立,整理,得,由,知直线与双曲线只有一个交点,选项D错误.故选AC6.已知A、B两点的坐标分别是,直线AP、BP相交于点P,且两直线的斜率之积为m,则下列结论正确的是()A.当时,点P的轨迹圆(除去与x轴的交点)B.当时,点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)C.当时,点P的轨迹为焦点在x轴上的抛物线D.当时,点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)【答案】ABD【解析】M的坐标为,直线AP的斜率为,由已知得,化简得点M的轨迹方程为,对A,当时,方程为,故A正确;对B,当,方程为,表示椭圆,故B正确;对C,当,方程为,不表示抛物线,故C错误;对D,,方程为,表示双曲线线,故D正确;故选:ABD.7.设椭圆的左右焦点为,,是上的动点,则下列结论正确的是()A. B.离心率C.面积的最大值为 D.以线段为直径的圆与直线相切【答案】AD【解析】根据椭圆的定义判断A选项正确性,根据椭圆离心率判断B选项正确性,求得面积的最大值来判断C选项的正确性,求得圆心到直线的距离,与半径比较,由此判断D选项的正确性.对于A选项,由椭圆的定义可知,所以A选项正确.对于B选项,依题意,所以,所以B选项不正确.对于C选项,,当为椭圆短轴顶点时,的面积取得最大值为,所以C选项错误.对于D选项,线段为直径的圆圆心为,半径为,圆心到直线的距离为,也即圆心到直线的距离等于半径,所以以线段为直径的圆与直线相切,所以D选项正确.综上所述,正确的为AD.[来源:Z,xx,k.Com]故选:AD8.过抛物线的焦点作直线交抛物线于,两点,为线段的中点,则()A.以线段为直径的圆与直线相离 B.以线段为直径的圆与轴相切C.当时, D.的最小值为4【答案】ACD【解析】根据抛物线的定义和直线与圆的相切关系对四个选项逐一判断即可.对于选项A,点到准线的距离为,于是以线段为直径的圆与直线一定相切,进而与直线一定相离:对于选项B,显然中点的横坐标与不一定相等,因此命题错误.对于选项C,D,设,,直线方程为,联立直线与抛物线方程可得,,,若设,则,于是,最小值为4;当可得,,所,.故选:ACD.9.已知抛物线的焦点为F,准线为l,过F的直线与E交于A,B两点,C,D分别为A,B在l上的射影,且,M为AB中点,则下列结论正确的是()A. B.为等腰直角三角形C.直线AB的斜率为 D.的面积为4【答案】AC【解析】A.根据抛物线性质,结合角度之间的关系,求解出的度数;B.利用抛物线的焦半径结合,判断为等腰直角三角形的可能性;C.根据,设出直线方程完成直线斜率的求解;D.取直线的方程,联立抛物线方程求解出的值,根据求解出三角形面积.过点向准线作垂线,垂足为,,设,如下图所示:A.因为,所以,又因为,所以,所以平分,同理可知平分,所以,故结论正确;B.假设为等腰直角三角形,所以,[来源:Zxxk.Com]所以四点共圆且圆的半径为,又因为,所以,所以,所以,所以,显然不成立,故结论错误;C.设直线的方程为,所以,所以,所以,又因为,所以,所以,所以,所以,所以直线的斜率为,故结论正确;D.取,由上可知,所以,所以,故结论错误.故选:AC.10.如图,椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,且椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和,半焦距分别为和,离心率分别为,则下列结论正确的是()A. B.C. D.E.椭圆Ⅱ比椭圆I更扁【答案】ABD【解析】先根据已知的条件确定和的关系,以及和的关系,再判断正确选项.由椭圆Ⅱ的右顶点为椭圆Ⅰ的中心,可得,由椭圆Ⅰ与Ⅱ有公共的左顶点和左焦点,可得;因为,且,则,所以A正确;因为,所以B正确;因为,,则有,所以C错误;因为,所以D正确;因为,即,则椭圆I比椭圆Ⅱ更扁,所以E不错误,故选ABD.

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