专题8统计与概率压轴小题一、单选题1．（2021·全国·高三专题练习）已知数列{an}满足a1＝0，且对任意n∈N*，an+1等概率地取an+1或an﹣1，设an的值为随机变量ξn，则（ ）A．P（ξ3＝2）＝ B．E（ξ3）＝1C．P（ξ5＝0）＜P（ξ5＝2） D．P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0）【答案】D【分析】由题意可知a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝，进而可求ξ3的期望，可判断AB；再结合条件求P（ξ5＝0），可判断CD.【详解】依题意a2＝1或a2＝－1，且P（a2＝1）＝P(a2＝－1)＝，ξ3＝a3的可能取值为2，0，－2P（ξ3＝2）＝×＝，P（ξ3＝0）＝2×＝，P（ξ3＝－2）＝＝，E（ξ3）＝2×+0×+(－2）×＝0，由此排除A和B；ξ4＝a4的可能取值为3,1，－1，－3，P（ξ4＝3）＝P（ξ3＝2）＝，P（ξ4＝1）＝＝，P（ξ4＝－1）＝＝，P（ξ4＝－3）＝P（ξ3＝－2）＝，ξ5＝a5的可能取值为4，2，0，－2，－4P（ξ5＝0）＝＝，P（ξ5＝2）＝＝，所以P（ξ5＝0）＞P（ξ5＝2），排除C．因为P（ξ5＝0）＝，P（ξ3＝0）＝，所以P（ξ5＝0）＜P（ξ3＝0），故D正确.故选：D．2．（2021·重庆市蜀都中学校高三月考）已知，则（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.【详解】依题意，，当时，，于是得.故选：B3．（2021·江苏省苏州中学园区校高三月考）已知，且，记随机变量为x，y，z中的最大值，则（）A． B．C．5 D．【答案】D【分析】先求出方程的全部正整数解，即基本事件总数，为x，y，z中的最大值，则可能的取值为，然后分别求出对应的概率即可.【详解】根据隔板法，将看做个完全相同的小球排成一排，中间形成的个空，放入两块隔板，可求得正整数解有组，可能的取值为，不妨设，则，下分类讨论：，；，，；，；，但根据的对称性，上述每一组解的结果数还要乘以，于是则有：，，，，于是故选：D4．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三开学考试）如图，在某城市中，､两地之间有整齐的方格形道路网，其中､､､是道路网中位于一条对角线上的个交汇处.今在道路网､处的甲､乙两人分别要到､处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达､处为止.则下列说法正确的是（）A．甲从到达处的方法有种B．甲从必须经过到达处的方法有种C．甲､乙两人在处相遇的概率为D．甲､乙两人相遇的概率为【答案】C【分析】A．考虑从到向上走的步数和向下走的步数，利用组合数求解出结果；B．先利用组合数分析从到的方法数，然后再利用组合数分析从到的方法数，根据分步乘法计数原理可求解出结果；C．先确定出甲经过的方法数，再确定出乙经过的方法数，由此确定出甲、乙两人在处相遇的方法数，结合A选项的结果求解出对应概率；D．先确定出甲、乙只能在、、、处相遇，然后根据C选项的计算方法分别计算出对应方法数，结合A选项的结果求解出对应概率【详解】A选项，甲从M到达N处，需要走6步，其中有3步向上走，3步向右走，则甲从M到达N处的方法有种，A选项错误；B选项，甲经过到达N处，可分为两步：第一步，甲从M经过需要走3步，其中1步向右走，2步向上走，方法数为种；第二步，甲从到N需要走3步，其中1步向上走，2步向右走，方法数为种.∴甲经过到达N的方法数为种，B选项错误；C选项，甲经过的方法数为种，乙经过的方法数也为种，∴甲､乙两人在处相遇的方法数为种，甲､乙两人在处相遇的概率为，C选项正确；D选项，甲､乙两人沿最短路径行走，只可能在、、、处相遇，若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向上走，乙经过处，则乙的前三步必须向左走，两人在处相遇的走法种数为1种；若甲､乙两人在处相遇，由C选项可知，走法种数为81种；若甲､乙两人在处相遇，甲到处，前三步有2步向右走，后三步只有1步向右走，乙到处，前三步有2步向下走，后三步只有1步向下走，所以，两人在处相遇的走法种数为种；若甲､乙两人在处相遇，甲经过处，则甲的前三步必须向右走，乙经过处，则乙的前三步必须向下走，两人在处相遇的走法种数为1种；故甲､乙两人相遇的概率，D选项错误.故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于利用组合数去计算对应的方法数，将从到的路线转变为六步，其中每一条路线向上步数确定后，则对应向右的步数也能确定，因此可以考虑从六步中选取向上或向右的步数，由此得到的组合数可表示对应路线的方法数.5．（2021·全国·高三专题练习（理））定义数列如下：存在，满足，且存在，满足，已知数列共4项，若且，则数列共有（）A．190个 B．214个 C．228个 D．252个【答案】A【分析】由题意，满足条件的数列中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同，利用排列组合知识分别求出每种情况的个数即可求解.【详解】解：由题意，满足条件的数列中的4项有四种情况：（1）4项中每一项都不同，共有个；（2）4项中有2项相同（如x,y,z,x）,共有个；（3）4项中有3项相同（如x,x,y,x）,共有个；（4）4项中两两相同（如x,y,x,y）,共有个；所以数列共有个.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键，弄清楚满足条件的数列中的4项有四种情况：4项中每一项都不同；4项中有2项相同；4项中有3项相同；4项中两两相同.6．（2021·山东·模拟预测）为迎接第24届冬季奥林匹克运动会，某校安排甲､乙､丙､丁､戊共五名学生担任冰球､冰壶和短道速滑三个项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人.则学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据古典概型计算公式，结合排列和组合的定义进行求解即可.【详解】所有的安排方法，若只有1人去冰球项目做志愿者，有；若恰有2人去冰球项目做志愿者，有；若有3人去冰球项目做志愿者，有，所以共有种安排法，所以学生甲不会被安排到冰球比赛项目做志愿者的概率为.故选：B【点睛】关键点睛：运用排列和组合的知识求出所有的安排方法数是解题的关键.7．（2021·全国·高三专题练习）已知展开式的常数项的取值范围为，且恒成立.则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】由二项展开式通项结合已知条件可求得实数的取值范围，再由恒成立结合参变量分离法可求得实数的取值范围，综合可得出结果.【详解】展开式的通项为，令，可得，所以，展开式中的常数项为，解得或，令，其中，可得.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，，由可得，其中，构造函数，其中，则，令，其中，则.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.所以，.所以，当时，，此时函数单调递减当时，，此时函数单调递增.所以，，.综上所述，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.8．（2021·河南·高三月考（理））2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为，第二批派出两名医务人员的年龄最大者为，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为，则满足的分配方案的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】假设6位医务人员年龄排序为，由必在第三批，将派遣方式按第一批所派遣的人员不同分成四类，求出满足的派遣方法数，再计算总派遣方法数，即可求概率.【详解】假设6位医务人员年龄排序为，由题意知，年龄最大的医务人员必在第三批，派遣方式如下：1、第一批派，第二批年龄最大者为，第三批年龄最大者为：剩下的医务人员一个在第二批，两个在第三批有种方法，2、第一批派，第二批年龄最大者为或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，共种方法；3、第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有1种方法，共种方法；4、第一批派，第二批年龄最大者为或或，第三批年龄最大者为：当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有种方法，当第二批最大者为，则有1种方法，共种方法；∴种方法，而总派遣方法有种，∴满足的分配方案的概率为.故选：A.【点睛】关键点点睛：应用分类分步计数原理，结合题设含义，按第一批派遣的人员不同将派遣方式分类，再根据第二批的最大年龄者的不同确定各类的派遣方法数.9．（2021·全国·高三专题练习（理））已知有5个不同的小球，现将这5个球全部放入到标有编号1、2、3、4、5的五个盒子中，若装有小球的盒子的编号之和恰为11，则不同的放球方法种数为（）A．150 B．240 C．390 D．1440【答案】C【分析】分析可得可以将5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中，分别计算每种放球方法种数，再利用分类相加计数原理可求得结果.【详解】因为或所以5个球放到编号2、4、5的三个盒子中或者放到编号1、2、3、5的四个盒子中（1）5个球放到编号2、4、5的三个盒子中，因为每个盒子中至少放一个小球，所以在三个盒子中有两种方法：各放1个，2个，2个的方法有种.各放3个，1个，1个的方法有种.（2）5个球放到编号1、2、3、5的四个盒子中，则各放2个，1个，1个，1个的方法有种.综上，总的放球方法数为种.故选：C【点睛】易错点睛：本题考查排列组合的部分均匀分组，解题时一定要注意不要重复，有n组均匀，最后一点要除以，考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，属于中档题.10．（2021·河北·衡水第一中学高三月考（理））甲、乙两人拿两颗如图所示的正四面体骰子做抛掷游戏，规则如下：由一人同时掷两个骰子，观察底面点数，若两个点数之和为5，则由原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是5，就由对方接着掷．第一次由甲开始掷，设第n次由甲掷的概率为，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为，由已知得，可得到数列是以为首项，为公比的等比数列，由此可得解.【详解】抛掷两颗正四面体骰子观察底面上的数字之和为5有4种情况，得点数之和为5的概率为，第n次由甲掷有两种情况：一是第次由甲掷，第n次由甲掷，概率为；二是第次由乙掷，第n次由甲掷，概率为．这两种情况是互斥的，所以，即，所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查概率的求法，互斥事件概率加法公式，等比数列的性质，在数列中，（、均为常数，且，），可以利用构造法求数列的通项公式：设，得到，，可得出数列是以的等比数列，可求出；11．（2021·全国·高三专题练习）某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光，当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同，当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移，其中为测速仪测得被测物体的横向速度，为激光波长，为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁处，发出的激光波长为（），某次检验中可测频移范围为（）至（），该高铁以运行速度（至）经过时，可测量的概率为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意及图形得，根据公式算出当时，，当时，，得频移范围为至，而可测频移范围为（）至（），结合几何概型公式计算即可.【详解】解：根据题意及图形可得：当时，，当时，，该高铁以运行速度（至）经过时频移范围为至，其区间长度为，因为某次检验中可测频移范围为（）至（）其区间长度为，所