专题15集合专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（    ）A．9 B．4 C．27 D．82．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且，已知集合，则（    ）A． B． C． D．3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ）A． B． C． D．4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（    ）A．3 B．4 C．12 D．165．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（    ）A． B．C． D．6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ）①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集Q是一个数域．A．1 B．2 C．3 D．47．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定与为集合U的同一种真分拆．①；②；③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则集合的真分拆的种数是（    ）A．4 B．8 C．10 D．158．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．89．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M，定义函数，对于两个集合，定义集合，，已知，，用表示有限集合中的元素个数，则对于任意集合，的最小值为（    ）A．5 B．4 C．3 D．211．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若且就称A是伙件关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（    ）A．15 B．16 C．64 D．12812．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：），则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（    ）A．18 B．16 C．-18 D．-1613．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ）A．32 B．64 C．80 D．19214．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ）A． B． C． D．15．（2022·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（    ）A．② B．①③ C．②④ D．②③16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算且称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：①                            ②③            ④则个命题中是真命题的是（    ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④二、多选题17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ）A． B．C． D．若，则整数，属于同一个类18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ）A．满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素D．M有一个最大元素，N有一个最小元素19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ）A．集合为闭集合；B．集合为闭集合；C．集合为闭集合；D．若集合为闭集合，则为闭集合．三、填空题20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合，若把集合的集合叫做集合的配集，则的配集有___________个.21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有__个．22．（2020秋·上海闵行·高一上海市七宝中学校考阶段练习）设集合，若，把的所有元素的乘积称为的容量（若中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若的容量为奇（偶）数，则称为的奇（偶）子集，则的所有奇子集的容量之和为______.23．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）设A是整数集的一个非空子集，对于，若，且，则称k是A的一个“孤立元”，集合中的“孤立元”是___________；对给定的集合，由S中的4个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合有___________个．24．（2021秋·上海徐汇·高一位育中学校考阶段练习）若一个非空数集满足：对任意，有，，，且当时，有，则称为一个数域，以下命题中：（1）0是任何数域的元素；（2）若数域有非零元素，则；（3）集合为数域；（4）有理数集为数域；真命题的个数为________25．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）已知集合，满足：（1），；（2），若且，则；（3），若且，则.给出以下命题：①若集合中没有最大数，则集合中有最小数；②若集合中没有最大数，则集合中可能没有最小数；③若集合中有最大数，则集合中没有最小数；④若集合中有最大数，则集合中可能有最小数.其中，所有正确结论的序号是___________.26．（2022秋·江苏淮安·高三校联考期中）用表示非空集合A中的元素个数，定义，若，，且，若B中元素取最少个数时m=______.若B中元素取最多个数时，请写出一个符合条件的集合B=______.27．（2022秋·上海浦东新·高一上海南汇中学校考阶段练习）对于集合，我们把称为该集合的长度，设集合，且都是集合的子集，则集合的长度的最小值是_______．28．（2023·全国·高一专题练习）设S、T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足：（ⅰ）；（ⅱ）对任意，当时，恒有．那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：①，B为正整数集；②，；③，．其中，“保序同构”的集合对的序号______．（写出所有“保序同构”的集合对的序号）四、解答题29．（2022秋·河北沧州·高一任丘市第一中学校考阶段练习）已知M是满足下列条件的集合：①，；②若，则；③若且，则.（1）判断是否正确，说明理由；（2）证明：；（3）证明：若，则且.30．（2022秋·北京·高一北京市第十三中学校考期中）设A是实数集的非空子集，称集合为集合A的生成集．(1)当时，写出集合A的生成集B；(2)若A是由5个正实数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值．