专题15集合专题（新定义）一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（    ）A．9 B．4 C．27 D．8【答案】C【分析】直接列举可得.【详解】当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为；当时，集合B可以为.故满足题意的“AB互衬对”个数为27.故选：C2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合且，已知集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合新定义即可求解.【详解】因为集合且，，所以故选：C3．（2023·全国·高三专题练习）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（   ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.【详解】因为，，所以，故中元素的个数为.故选：B.4．（2021秋·陕西安康·高一校考阶段练习）设P，Q是两个非空集合，定义，若，，则中元素的个数是（    ）A．3 B．4 C．12 D．16【答案】C【分析】根据集合新定义，利用列举法写出集合的元素即可得答案.【详解】因为定义，且，，所以，中元素的个数是12，故选：C.5．（2020秋·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考阶段练习）设集合的全集为，定义一种运算，，若全集，，，则（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】解不等式求得集合M，求得，根据集合运算新定义，即可求得答案.【详解】由题意得，或，则，故选：C6．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）当一个非空数集G满足“如果a、，则、、，且时，”时，我们称G是一个数域．以下四个关于数域的命题中真命题的个数是（    ）①0是任何数域中的元素；②若数域G中有非零元素，则；③集合是一个数域；④有理数集Q是一个数域．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据数域定义逐一验证即可.【详解】由定义可知，，即0是任何数域中的元素，①正确；若域G中有非零元素a，则，所以，，…，，②正确；记则，但，故③错误；易知任意两个有理数的和差积仍是有理数，当分母不为0时，两个有理数的商仍为有理数，故④正确.故选：C7．（2022秋·北京房山·高一统考期中）已知U是非空数集，若非空集合A，B满足以下三个条件，则称为集合U的一种真分拆，并规定与为集合U的同一种真分拆．①；②；③A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素．则集合的真分拆的种数是（    ）A．4 B．8 C．10 D．15【答案】A【分析】理解真分拆的定义，采用列举法一一列出即可求解.【详解】根据真分拆定义，当集合只有一个元素时，有四个元素，此时只能是；当集合有两个元素时，有三个元素，此时包括、、，因为与为集合U的同一种真分拆，故只有四种真分拆.故选：A8．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）若一个位正整数的所有数位上数字的次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数，已知所有一位正整数的自恋数组成集合，集合，则真子集个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根据题中定义，结合集合交集的定义、真子集个数公式进行求解即可.【详解】由题中定义可知，而，所以，因此真子集个数为，故选：C9．（2023秋·上海徐汇·高一统考期末）若集合A同时具有以下三个性质：（1），；（2）若，则；（3）若且，则．则称A为“好集”．已知命题：①集合是好集；②对任意一个“好集”A，若，则．以下判断正确的是（    ）A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【详解】对于①，因为，而，所以集合不是好集，故①错误；对于②，因为集合为“好集”，所以，所以，故②正确，所以①为假命题，②为真命题.故选：D.10．（2022秋·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）对于集合M，定义函数，对于两个集合，定义集合，，已知，，用表示有限集合中的元素个数，则对于任意集合，的最小值为（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【分析】先根据定义化简，，再根据文恩图确定+最小值取法，即得结果.【详解】解：因为，所以，，所以，,，所以，当元素个数最多且M中不含有A,B的元素之外的元素时，+最小，因为,所以当时，+最小，为，故选：B11．（2022秋·天津和平·高一天津市汇文中学校考阶段练习）若且就称A是伙件关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（    ）A．15 B．16 C．64 D．128【答案】A【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有，，“和”，“和”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为，；，；，；，；这样所求集合即由，，“和”，“和”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为，故选:A.12．（2022秋·宁夏石嘴山·高一石嘴山市第一中学校考阶段练习）已知集合，对它的非空子集，可将中的每一个元素都乘以再求和（如，可求得和为：），则对的所有非空子集执行上述求和操作，则这些和的总和是（    ）A．18 B．16 C．-18 D．-16【答案】D【分析】由已知，先求解出集合的所有非空子集分别出现的次数，然后，再根据范例直接计算总和即可.【详解】由已知，因为，那么每个元素在集合的所有非空子集分别出现个，则对于的所有非空子集执行乘以再求和的操作，则这些数的总和为：.故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）含有有限个元素的数集，定义“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数．例如的交替和是；而的交替和是5，则集合的所有非空子集的交替和的总和为（    ）A．32 B．64 C．80 D．192【答案】D【分析】依次计算集合的所有非空子集的交替和的总和，然后归纳猜想出规律即可得．【详解】集合的所有非空子集的交替和的总和为，集合的所有非空子集的交替和的总和为，集合的所有非空子集的交替和的总和为，集合的所有非空子集的交替和的总和为，由此猜测集合的所有非空子集的交替和的总和为，证明如下：将集合中所有的子集分为两类：第一类，集合中无，第二类，集合中有这个元素，每类中集合的个数为我们在两类集合之间建立如下一一对应关系：第一类中集合对应着第二类中集合，此时这两个集合的交替和为，故集合的所有非空子集的交替和的总和为，所以．故选：D．14．（2022秋·北京海淀·高一人大附中校考期中）若集合A的所有子集中，任意子集的所有元素和均不相同，称A为互斥集．若，且A为互斥集，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由集合的新定义先确定集合，而要想取得最大值，则要最小，从而确定，即可求解【详解】因为，所以为又且为互斥集，所以为，要想取得最大值，则要最小，此时，不妨令，则，故选：C15．（2022·上海·高一专题练习）设X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中有限个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}；④τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是（    ）A．② B．①③ C．②④ D．②③【答案】D【分析】利用集合X上的拓扑的3个要求，依次判断即可．【详解】解：①中由于{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故①不是集合X上的一个拓扑；②中满足拓扑集合的3个要求，故②是集合X上的一个拓扑；③中满足拓扑集合的3个要求，故③是集合X上的一个拓扑；④中{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，故④不是集合X上的一个拓扑；因此集合X上的拓扑的集合τ的序号是②③，故选：D．16．（2022秋·上海浦东新·高一上海市建平中学校考开学考试）定义集合运算且称为集合与集合的差集；定义集合运算称为集合与集合的对称差，有以下4个命题：①                            ②③            ④则个命题中是真命题的是（    ）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】利用题中定义可判断①的正误；利用韦恩图法可判断②④；利用题中定义与集合运算可判断③的正误.【详解】对于①，，①对；对于②，且且，同理，则，所以，表示的集合如下图中的阴影部分区域所示：同理也表示如上图阴影部分区域所示，故，②对；对于③，，③对；对于④，如下图所示：所以，，④错.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查集合中的新定义问题，解题的关键在于利用韦恩图法来表示集合，利用数形结合思想来进行判断.二、多选题17．（2022秋·江苏苏州·高一星海实验中学校考期中）整数集中，被4除所得余数为的所有整数组成一个“类”，其中，记为，即，以下判断正确的是（    ）A． B．C． D．若，则整数，属于同一个类【答案】CD【分析】根据给定的定义，计算判断A，B；推理判断C，D作答.【详解】，，，即，而，因此，A不正确；，即，而，因此，B不正确；因任意一整数除以4，所得余数只能为0或1或2或3，即，反之，集合中任一数都是整数，即，所以，C正确；，不妨令，则，因，于是得，即，因此整数，属于同一个类，D正确.故选：CD18．（2022秋·山西运城·高一山西省运城中学校期中）1872年德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称“戴德金分割”），并把实数理论建立在严格的科学基础上，从而结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了数学史上的第一次大危机.将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断下列选项中，可能成立的是（    ）A．满足戴德金分割B．M没有最大元素，N有一个最小元素C．M没有最大元素，N没有最小元素D．M有一个最大元素，N有一个最小元素【答案】ABC【分析】根据戴德金分割的定义可判断A；举例判断B;结合A中例子可判断C;假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义判断D.【详解】对于A，满足戴德金分割的定义，A正确；对于B,取，符合戴德金分割，M没有最大元素，N有一个最小元素，B正确；对于C，取满足戴德金分割的定义，M没有最大元素，N没有最小元素，C正确；对于D，假设M有一个最大元素m，N有一个最小元素n,根据戴德金分割定义，必有，则无法满足，D错误，故选：.19．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ）A．集合为闭集合；B．集合为闭集合；C．集合为闭集合；D．若集合为闭集合，则为闭集合．【答案】AC【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论.【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;对于D：假设,.不妨取,但是,,则不是闭集合.故D错误.故选：AC三、填空题20．（2022秋·江苏常州·高一常州高级中学校考期中）设集合，若把集合的集合叫做集合的配集，则的配集有___________个.【答案】4【分析】直接按定义求出符合条件的集合，计算个数，得到答案.【详解】解：由题意，M可以是，，，，共4个.故答案为：4.21．（2023·全国·高三专题练习）对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①A；②，则称为的一个“保均值真子集”，据此，集合的“保均值真子集”有__个．【答案】【分