专题14集合，复数，逻辑语言专题（数学文化）一、单选题1．（2022·高一课时练习）数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克(Kronecker，1823﹣1891)说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用虚数单位的幂的运算规律化简即得,然后利用共轭复数的概念判定.【详解】解：,故选：C.2．（2022秋·浙江温州·高一乐清市知临中学校考期中）某国近日开展了大规模COVID-19核酸检测，并将数据整理如图所示，其中集合S表示（）A．无症状感染者 B．发病者 C．未感染者 D．轻症感染者【答案】A【分析】由即可判断S的含义.【详解】解：由图可知，集合S是集合A与集合B的交集，所以集合S表示：感染未发病者，即无症状感染者，故选：A.3．（2021秋·湖北十堰·高一校联考期中）必修一课本有一段话：当命题“若，则”为真命题，则“由可以推出”，即一旦成立，就成立，是成立的充分条件.也可以这样说，若不成立，那么一定不成立，对成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（  ）A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】本题可根据充分条件与必要条件的定义得出结果.【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立，所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件，故选：B.4．（2022秋·云南曲靖·高一校考期中）杜甫在《奉赠韦左丞丈二十二韵》中有诗句：“读书破万卷，下笔如有神.”对此诗句的理解是读书只有读透书，博览群书，这样落实到笔下，运用起来才有可能得心应手，如有神助一般，由此可得，“读书破万卷”是“下笔如有神”的（    ）A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断.【详解】杜甫的诗句表明书读得越多，文章未必就写得越好，但不可否认的是，一般写作较好的人，他的阅读量一定不会少，而且所涉猎的文章范畴也会比一般读书人广泛.因此“读书破万卷”是“下笔如有神”的必要不充分条件.故选：C5．（2020·陕西榆林·统考一模）在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（    ）A． B．4 C． D．16【答案】D【解析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.【详解】，.故选：D【点睛】本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.6．（2021春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）在代数史上，代数基本定理是数学中最重要的定理之一，它说的是：任何一元次复系数多项式在复数集中有个复数根（重根按重数计）那么在复平面内使除了1和这两个根外，还有一个复数根为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用方程根的意义，把代入方程，经化简变形即可得解.【详解】因是方程的根，即，所以是方程的根.故选：B7．（2021春·安徽宣城·高一校联考期中）瑞士著名数学家欧拉发现了公式（为虚数单位），它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位.根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据欧拉公式代入求解即可.【详解】解：根据欧拉公式，得，即它在复平面内对应的点为，故位于第二象限.故选：B.8．（2022·全国·高三专题练习）“虚数”这个名词是17世纪著名数学家、哲学家笛卡尔创制的，直到19世纪虚数才真正闻人数的领域，虚数不能像实数一样比较大小.已知复数，且(其中i是虚数单位，则复数（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据条件，设，再列式求，即可得到复数.【详解】设，，①，得，且②，由①②解得：，，所以.故选：C9．（2022·全国·高三专题练习）2022年1月，中科大潘建伟团队和南科大范靖云团队发表学术报告，分别独立通过实验，验证了虚数i在量子力学中的必要性，再次说明了虚数i的重要性．对于方程，它的两个虚数根分别为（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据方程根的定义进行验证．【详解】首先实系数多项式方程的虚数根成对出现，它们互为共轭复数，因此排除CD，A选项，，因此选项A正确，则选项B错误（因为3次方程只有3个根（包括重根））．故选：A．10．（2022·全国·高三专题练习）人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展，从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等．16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时，首先引进了，17世纪法因数学家笛卡儿把i称为“虚数”，用表示复数，并在直角坐标系上建立了“复平面”．若复数z满足方程，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】设出复数z的代数形式，再利用复数为0列出方程组求解作答.【详解】设，因，则，即，而，则，解得，所以.故选：C11．（2022·高一单元测试）中国古代重要的数学著作孙子算经下卷有题：今有物，不知其数三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二问：物几何？现有如下表示：已知，，，若，则下列选项中符合题意的整数为A． B． C． D．【答案】D【解析】将选项中的数字逐一代入集合、、的表达式，检验是否为、、的元素，即可选出正确选项．【详解】因为，则，选项A错误；，则，选项B错误；，则，选项C错误；，故；，故；，故，则，选项D正确.故选：D．12．（2022秋·浙江温州·高一校考阶段练习）在数学漫长的发展过程中，数学家发现在数学中存在着神秘的“黑洞”现象．数学黑洞：无论怎样设值，在规定的处理法则下，最终都将得到固定的一个值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一样．目前已经发现的数字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡尔黑洞”、“自恋性数字黑洞”等．定义：若一个n位正整数的所有数位上数字的n次方和等于这个数本身，则称这个数是自恋数．已知所有一位正整数的自恋数组成集合A，集合，则的子集个数为（    ）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】D【分析】根据自恋数的定义可得集合，再根据交集的定义求出，从而可得答案.【详解】解：依题意，，，故，故的子集个数为8．故选：D．13．（2019·江西·高三校联考阶段练习）我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第三次用“调日法”后可得的近似分数为A． B． C． D．【答案】C【解析】利用“调日法”进行计算到第三次，即可得到本题答案.【详解】第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即；第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即；第三次用“调日法”后得是的更为精确的不足近似值，即，所以答案为.故选：C【点睛】本题考查“调日法”，主要考查学生的计算能力，属于基础题.14．（2022·上海·高一专题练习）古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（    ）A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于【答案】A【分析】设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.【详解】解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.由杠杆的平衡原理：，．解得，，则.下面比较与10的大小：（作差比较法）因为，因为，所以，即.所以这样可知称出的黄金质量大于.故选：A15．（2022·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（    ）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立【答案】D【分析】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，利用大正方形的面积与四个直角三角形面积和的不等关系得结论．【详解】直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，则，在正方形的面积为，四个直角三角形的面积和为，因此有，即，当且仅当时，中间没有小正方形，等号成立．故选：D．16．（2022秋·北京丰台·高一统考期末）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ）A．a2+b2≥2ab（a＞0，b＞0） B．C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0）【答案】C【分析】由图形可知，，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OF即可得出.【详解】解：由图形可知，，，在Rt△OCF中，由勾股定理可得，CF＝，∵CF≥OF，∴，故选：C.17．（2022·全国·高三专题练习）世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如，也即复数的模的几何意义为对应的点到原点的距离．已知复数满足，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由复数几何意义可得的轨迹为圆，从而将问题转化为点到点的距离，则所求最大值为圆心到的距离加上半径.【详解】，对应的点的轨迹为圆；的几何意义为点到点的距离，.故选：C.18．（2022·全国·高三专题练习）数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并给出以下公式，（其中是虚数单位，是自然对数的底数，），这个公式在复变论中有非常重要的地位，被称为“数学中的天桥”，根据此公式，有下列四个结论，其中正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知条件的公式及诱导公式，结合复数运算法则逐项计算后即可求解.【详解】对于A，，所以，故A不正确；对于B，，，所以，故B正确；对于C，，，所以，故C不正确；对于D，，故D不正确.故选：B.19．（2020·天津·南开中学校考模拟预测）由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴金德分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴金德分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（    ）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确；若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确；若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确；有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确.故选：