2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）理科数学·答案及评分标准123456789101112ABDCBBCBADBC13． 14．16415． 16．117．【解析】（1）证明：取AB的中点,连接,则由题意知为正三角形,所以,由等腰梯形知,设,则,,故,即得,所以,（2分）因为平面平面,,平面平面,平面PAD,所以平面,又平面,所以,（4分）因为,,平面,所以平面,因为平面,所以.（6分）（2）由（1）得,,两两垂直,以为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴建立空间直角坐标系,因为平面,所以平面所成的角为,设,则,,则,,,,则,,,（8分）设平面PAB的法向量为,则,即   ,取,则,（9分）设平面PBC的法向量为,则,即,取,则,（10分）所以,所以二面角的正弦值为.（12分）18．【解析】（1）,当时,,即,得或（舍去）.（1分）由,……①得,……②得：,化简得.（3分）因为,所以,,即数列是以4为首项,2为公差的等差数列,（5分）所以.（6分）（2）存在.（7分）当,时,会得到数列中原次序的一列等比数列,此时的公比,是最小的,此时该等比数列的项均为偶数,均在数列中；（8分）下面证明此时的公比最小：,假若取,公比为,则为奇数,不可能在数列中.（10分）所以.又,所以,即的通项公式为,故.（12分）19.【解析】（1）（i）依题意得列联表如下：正确识别错误识别合计组软件402060组软件202040合计6040100（2分）因为,（3分）且,所以没有的把握认为软件类型和是否正确识别有关；（5分）（ii）由（i）得,（6分）故方案二在一次测试中通过的概率为；（8分）（2）方案二每次测试通过的概率为,所以当时,取到到最大值,（10分）又,此时,因为每次测试都是独立事件,故次实验测试通过的次数,期望值,因为,所以所以测试至少27次,此时.（12分）20．【解析】（1）由题可得,故可得,（2分）则,（3分）故的标准方程为.（4分）（2）由（1）中所求可得点A,的坐标分别为,又双曲线渐近线为,显然直线的斜率不为零,故设其方程为,,（5分）联立双曲线方程可得：,设点的坐标分别为,则,,；（6分）又直线方程为：,令,则,故点的坐标为；直线方程为：,令,则,故点的坐标为；（7分）则故为定值.（8分）（3）当直线斜率不存在时,对曲线,令,解得,故点的坐标为,此时,在三角形中,,故可得,则存在常数,使得成立；（9分）当直线斜率存在时,不妨设点的坐标为,,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,则,,假设存在常数,使得成立,即,则一定有,也即；又；；又点的坐标满足,则,故；（11分）故假设成立,存在实数常数,使得成立；综上所述,存在常数,使得恒成立.（12分）21.【解析】（1）函数的定义域为.（1分）①若时,1-0+0-极小值极大值（2分）②若时,恒成立,单调递减,③若时1-0+0-极小值极大值（3分）④若时,时,单调递减；时,单调递增.综上所述,当时,单调递减,单调递增,单调递减；当时,单调递减；当时,单调递减,,单调递增,单调递减；当时,单调递减,单调递增.（4分）（2）（i）由（1）知当时,单调递减,单调递增,单调递减.所以存在三个零点,只需和即可,所以且,整理得且.此时,,（6分）令,易知在上单调递减有,所以.（8分）（ii）由（1）知,当时,单调递减,单调递增,单调递减所以.若存在三个零点,只需和即可,所以且,整理得,因为,设,则方程,即为记,则为方程三个不同的根,（10分）设.要证：,即证：,即证：,而且,所以,所以,即证：,即证：,即证：,记,则,所以在为增函数,所以所以,设,则,所以在上是增函数,所以所以,即所以若,则.（12分）22.【解析】（1）把,代入,得曲线的极坐标方程为,即．（2分）将中的参数消去,得曲线的普通方程为,把,代入,得曲线的极坐标方程为,即．（5分）（2）由题得,,,,（7分）因为,所以,其中,,当,即时,的面积取得最大值．（10分）23.【解析】（1）函数的最小值为,此时,（1分）当时,,当时,,当时,,函数,（3分）函数在上单调递减,在上单调递增,当时,,所以函数的最小值为,故.（5分）（2）由（1）知,,因为,,所以,,,,,（7分）又因为,所以,又,所以,所以．所以．（10分）公众号：高中试卷君