数学-2024届新高三开学摸底考试卷（九省新高考通用）03数学·答案及评分标准123456789101112BCCBADDBABCACADCD13． 14．15． 16．5（答案不唯一）17．【答案】(1)(2)【分析】（1）先由同角三角函数的平方关系结合角的象限计算，再由商数关系计算；（2）先由二倍角公式计算和，再代入和差角公式计算即可.【详解】（1），，（5分）（2）由（1）得，所以，，所以（10分）18．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】（1）设，可用点的坐标表示，根据斜率关系可得的关系，根据导数求出点处切线斜率，从而可证抛物线在点处切线斜率为；．（2）设，根据题设的共点的直线的斜率关系可得，从而可证、为等差数列，故可证为等差数列．【详解】（1）设则，同理．，即，，．当时，，∴抛物线在点处切线斜率为，得证．  （5分）（2）设，故直线，令，则，故，同理．当时，故，当时，同理有，∵，故，整理得到：，因此，由可得，故，因此，即为等差数列，设其公差为．而，故，其中．又直线，因该直线过，故，解得，故，∴，故，而，故，∴为等差数列，设其公差为．故，故当时，，该数为常数．当时，，该数为常数，而，故，故，故对任意的，为常数，故数列为等差数列．（12分）19．【答案】(1)证明见解析；(2)【分析】（1）通过勾股定理，证明出可证得平面.（2）作，垂足为H，连结，证得为与平面所成的角，在中求即可.【详解】（1）∵，，，由勾股定理得：，中，，∵，∴，又因为底面，底面，所以，又因为且平面，∴平面，（6分）（2）作，垂足为H，连结，因为平面，平面，所以，又因为且平面，所以平面，所以为与平面所成的角，中，，，所以直线与平面所成角的余弦值为.（12分）20．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知可得，，然后即可根据等差数列的前n项和公式，即可得出答案；（2）由（1）可推得，然后根据错位相减以及等比数列的前n项和公式，即可得出答案；（3）由（1）可推得，进而可得当时，.裂项求和即可得出证明.【详解】（1）由已知，所以，所以，．（2分）（2）由（1）可知，，，所以，所以①，②，所以①②可得，所以．（6分）（3）由（1）可推得.当时，，所以，，所以当时，．（12分）21．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用椭圆过点，得到，再由椭圆的离心率为，求出的值，从而求到椭圆的标准方程；（2）对直线的斜率为0、斜率不存在及斜率存在且不为0三种情况讨论，从而求出，得到结论.【详解】（1）因为椭圆过点，所以，又，，所以，得到，所以椭圆的标准方程为.（4分）（2）当直线斜率存在且不为0时，设直线的方程为，联立直线和椭圆的方程得，消去并整理，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以方程有两个相等的根，，化简整理得因为直线与垂直，所以直线的方程为，联立得，解得，，所以把代入上式得，，所以，为定值；当直线斜率为0时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；当直线斜率不存在时，直线，过点作直线的垂线，则垂线方程为，此时或，，为定值；综上所述，，为定值.（12分）22．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据椭圆离心率和焦点三角形周长可求得，即可得出椭圆C的标准方程；（2）易知的轨迹是以OM为直径的圆与圆的交点，求出AB所在的直线方程，并于椭圆方程联立根据弦长公式求得的面积的表达式，再化简变形构造函数即可求得其取值范围.【详解】（1）设椭圆焦距为2c，根据椭圆定义可知，的周长为，离心率联立，解得，，所以，即椭圆C的标准方程.（4分）（2）设点，又为切点，可知，所以四点共圆，即在以OM为直径的圆上，则以OM为直径的圆的方程为，又在圆上，两式相减得直线AB的方程为，如下图所示：设，，由，消去y整理后得，，，所以，又点O到直线PQ的距离，设的面积为S，则，其中，令，则，设，，则，所以在区间上单调递增，从而得，于是可得，即的面积的取值范围为.（12分）公众号：高中试卷君