2024届广西名校开学考试试题数学参考答案一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．Axx0，B{1,0,1,2,3}，则AB{1,2,3}，故选：D．2．由(12i)234i，对应点坐标为(3,4)，在第二象限．故选：B．11aa13．函数fx为奇函数，f(1)f(1)，131，解得a，选C．123aa(1q4)1(124)4．设公比为q，aq2a，82q2，解得q2，a21，故S115，选A．421q41q122k145．设切线ykx，1，得k0或k，则y0，4x3y0；另两条切线与直线MN平行且相1k23b111515距为1，又由lMN:yx，设切线yxb，则1，得b，则yx，选C．2212224C1C4C4．个种子选手分在同一组的方法有984种，故选：．632315CA2112227．设母线为l，展开图S2π1l3π，l3，高2，Vπ×122π，选A.2SO312233xexex1238．构造fx，x0,1，fx0，fx在0,1上单调递减，又，xx254232354323ee352422f()f()ee，即ac，又e4，故cb，选B．5423455554二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．789．对于A，由于580%4，则4，5，6，7，8的第50百分位数为7.5，故A错；对于B，若2P(AB)方程为yˆ1.20.5x时，则变量x与y负相关，故B正确；对于C，若P(A|B)PA，则有P(A)，P(B)5957可得PABPAPB，则A与B相互独立，故C正确；对于D，10人的成绩平均x8，1025252则10人的方差s[13(89)][10(87)]12.5，故D错；选BC．1010y2y210．抛物线的焦点F1,0，准线l:x1，故C正确；设直线AB为xmy1,A(1,y)y0,B(2,y)，41142xmy12则A1,y1,B1,y2，联立方程2，消y得：y4my40，则y1y24m,y1y24y4x222y13yy对A：∵AF11，A错；对B：∵OA(1,y),OB(2,y)，4441422yy∴OAOB12yy30，∴OA,OB不互垂直，B错误；1612yy2对D：∵124m,AByy4yy4m21，∴AB的中点M1,2m到直线AB的距2121212m121221离d2m1AB，又∵MF44m2m1AB，故以AB为直径的圆m2122与直线AB相切于F，D正确；故选：CD．第1页共4页{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}11．如图，将四面体ABCD补全为长方体，因为AB平面BCD，CD平面BCD，所以ABCD，又BCCD，所以CD平面ABC，故A正确；因为AC平面ABC，所以CDAC，又因为平面ACD平面BCDCD，AC平面ACD，BCCD，BC平面BCD，则ACB即为二面角ACDB的平面角，因为ACB为锐角，即二面角ACDB1112为锐二面角，故B不对；设BCx,CDy，V四面体BCCDABxy，ABCD3263得xy4，AD2AB2BD212x2y212xy9，当且仅当xy2时等号成立，AD3，故C正确．设四面体ABCD外接球的半径为R，则，当且仅当xy2时等号成立，所以4πR29π，即四面体ABCD外接球的表4R2x2y212xy19面积的最小值为9π，故D正确．故选：ACD．x2axa12．对于A，定义域为(0,)，f(x)，令f(x)0，x2axa0在(0,)上有两个不等实xΔa24a0根，，x1x2a0，得a4，故A正确；对于B，由韦达得a022222x1x2(x1x2)2x1x2a2a(a1)18，故B错误；对于C，由x1x2a,x1x2a，C正确；122321321对于D，fxfxxx6alnaaa6，令h(a)alnaaa6,a4，124124242313113h(a)lnaa，令(a)lnaa,a4，(a)0，即函数(a)在(4,)上单调递减，2222a211h(a)(a)(4)ln40，则函数h(a)在(4,)上单调递减，于是2122h(a)h(4)4ln412268ln280，所以f(x)f(x)(xx)6，故D正确；故选：ACD12412三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．5rrr333322213.13x的通项Tr13C5x，令r3，则T43C5x270x；令r2，T33C5x90，512x13x的展开式中x3的系数为27029090，答案为90．222214．a345，(ab)(ab)ab25322，答案22．πππ15．化简得fxsin(x)，又x0,π，得x[,π+](0)，因fx在0,π上恰有2个零3333π58点，2ππ3π，解得.333316．FF2c，FOc，O是FF的中点，所以PFPF2PO，故由PFPF3b得POb，因121121212229212cba13为PFPF2a，PFa，所以PFa，在△PFO中，cosPOF441212113222cb229292cba2222224c9b9a4c9ba，在PFO中，cosPOF44，22312bc12bc2cb24c29b2a24c29b29a2c25250，即4c29b25a20，则，离心率为．12bc12bca55四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（1）根据题意可得an1an(a2a1)4(n1)4n2；………………………………2分211a(aa)(aa)(aa)a2(n1)(2n1)(2n3),n2………………4分nnn1n1n22112211又a-符合上式，所以a(2n1)(2n3)…………………………………………………………5分12n21211（2）………………………………………………………………7分an(2n1)(2n3)2n32n1111111200S……………………………………………………………10分1001113197199199第2页共4页{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}18．（1）由条件得：52cos2B1﹣14cosB-70………………………………………………………………2分3所以5cos2B﹣7cosB-60，即5cosB+3cosB-2=0，解得cosB…………………………………4分524又0Bπ，所以sinB1-cosB…………………………………………………………………6分5（2）由b2a2c22accosB41，则b213…………………………………………………………8分11设ABC的边AC上的高为h．ABC的面积：SacsinBbh，221416∴53213h，h………………………………………………………………………11分252136∵B是钝角，∴当BDAC时，垂足在边AC上，即BD的最小值是h……………………12分1319．（1）四边形ABCD为菱形，且ADBD，所以DGBC．因为AD//BC，所以，分DGAD…………………………………………2Ez因为平面，平面所以分EDABCDDGABCD，DGED．…………4H又EDADD，ED,AD平面ADE，DFC所以DG平面；分ADE……………………………………………………5GAO（2）设BD交AC于点O，取EF中点H，连接OH，所以OH//ED，Bxy第19题OH底面ABCD．以O为原点，以OA,OB,OH分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，因为ADBDED2，所以OAOC3，所以A(3,0,0)，C(3,0,0)，B(0,1,0)，F(0,1,1)，D(0,1,0)，E(0,1,2)，…………6分所以FA(3,1,1)，EA(3,1,2)，mFA03xyz0设平面EFA的一个法向量为m(x,y,z)，则，令x3得mEA03xy2z0所以m(3,1,2)；……………………………………………………………………………………8分BF(0,0,1)，BC(3,1,0)，平面BFC的一个法向量为n(a,b,c)，nBF0c0则，令a3得n(3,3,0)；………………………………………10分nBC03ab0330所以cosm,n0，………………………………………………………………………11分812π所以平面AFE与平面BFC的夹角的大小为．………………………………………………………12分220.（1）填列联表经常锻炼不经常锻炼合计合格254570…………………………………2分优秀201030合计4555100零假设H0：成绩是否优秀与是否经常体育锻炼无关21002510452028.1296.635…．…………………………………………………………5分70304555根据小概率值0.01的独立性检验，推断H0不成立，故成绩优秀与是否经常体育锻炼有关联…………………………………………………………6分（2）根据直方图大于600分的频率为0.01250.0025200.3，小于600分的频率为10.30.7，故由分层抽样知，抽取的10人中合格有100.77人，优秀的为100.33人……………………7分则从这10人中随机抽取5人，优秀人数X服从超几何分布，由题意X的可能值为0,1,2,3………8分第3页共4页{#{QQABbYyUggiAABIAABgCQQ1wCAEQkBGCCAgOwAAEIAAByBFABAA=}#}504132CC1CC5CC5PX073，PX173，PX273，512512512C10C10C1023CC211PX373………………………………………………………………………11分525212C10故分布列为X01231551P……………………………………………12分12121212|bc|bc21．（1）由双曲线得渐近线方程为bx2y0，设F(c,0)，则db2，…2分2b2c∴双曲线C方程为x2y22；