舒适练习012（解析版）一、单选题1．设集合，，则的元素个数为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据交集以及指数函数、二次函数图象等知识确定正确答案.【详解】如图，集合为函数图象的点集，集合为函数图象的点集，两函数的图象有三个交点，所以的元素个数为个.故选：C    2．已知为虚数单位，复数是纯虚数，则（    ）．A． B．4 C．3 D．2【答案】C【分析】化简复数得，由其为纯虚数求参数a，进而求的模即可.【详解】由为纯虚数，∴，解得：，则，故选：C．3．某校为庆祝中国共产党成立100周年举办“学党史颂党恩”主题演讲比赛，来自于高三年级的两名同学和高一、二年级各1名同学进入决赛，则来自于高三年级的两名同学不相邻出场的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用古典概型概率公式求解即可.【详解】四名同学全排列共有种方法，自于高三年级的两名同学不相邻共有种方法，所以来自于高三年级的两名同学不相邻出场的概率，故选：B.4．的展开式共有七项，且常数项为20，则（    ）A．1 B． C．2 D．【答案】B【分析】根据展开式的项数得到，进而由展开式通项公式得到，求出的值.【详解】因为的展开式共有七项，故，且展开式通项公式为，令，解得：，故，解得：.故选：B5．直线被圆所截得的线段的长为A． B． C． D．【答案】C【详解】试题分析：求圆的弦长常在以圆心、弦的中点及弦的一个端点所构成的三角形内先计算弦长的一半，然后再求解．圆心（1，0）到直线的距离为，由圆的半径1及勾股定理得弦长的一半为，所以弦长为．故选C．考点：求圆的弦长方法．6．如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】设出等腰直角三角形的斜边长，由此结合余弦定理求得各边长，并求得，由此得到，进而利用平面向量加法和减法的线性运算，将表示为以为基底来表示的形式.【详解】设，则，，，所以，所以.因为，所以.故选：D【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查利用基底表示向量，属于中档题.7．已知椭圆的标准方程为，为椭圆的左右焦点，O为原点，P是椭圆在第一象限的点，则的取值范围（）A． B． C． D．【答案】C【详解】设,则,则,因为所以,,,故选C.点睛:本题考查椭圆的第二定义以及分式型的函数的值域问题,属于中档题.设,则根据椭圆的第二定义可知,再根据两点间距离公式求出|PO|,由P在椭圆上,将代入,把原式写成关于的函数形式,根据反比例类型的函数特点求出取值范围即可.二、多选题8．冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热.若发生群体性发热，则会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产.某大型公司规定：若任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3℃，则称没有发生群体性发热.下列连续7天体温高于37.3℃人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为（    ）A．中位数为3，众数为2 B．均值小于1，中位数为1C．均值为2，标准差为 D．均值为3，众数为4【答案】BC【分析】根据题意，设连续7天，每天体温高于37.3℃的人数分别为，可得，然后根据选项，结合反例依次判定，即可求解.【详解】由题意，连续7天，每天体温高于37.3℃的人数分别为，可得，对于A中，取，则满足中位数为3，众数为2，但第7天的人数，所以A不正确；对于B中，若，由中位数为1，可知均值为，与均值小于1矛盾，所以B正确；对于C中，当均值为2，标准差为时，，且，若，则，例如：，符合题意，所以C正确；对于D中，取，则满足均值为3，众数为4，但第7天人数，所以D不正确.故选：BC.9．已知函数的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（    ）．031A．函数的解析式为B．函数图象的一条对称轴为C．是函数的一个对称中心D．函数的图象左平移个单位，再向下移2个单位所得的函数为偶函数【答案】BC【分析】根据表格中的数据求出的值，即可得函数的解析式，再检验选项选项B、C是否满足对称轴和对称中心方程，可判断B、C；利用图象的平移变换可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A：由表格数据可得：，，解得：，，由，解得：，，所以函数的解析式为，故选项A不正确；对于B：令，解得：，所以是函数图象的一条对称轴，故选项B正确；对于C：解得：，所以是函数的一个对称中心，故选项C正确；对于D：函数的图象左平移个单位，可得，再向下移2个单位所得是奇函数，故选项D不正确；故选：BC.10．已知正方体，过对角线作平面交棱于点，交棱于点，则：①平面分正方体所得两部分的体积相等；②四边形一定是平行四边形；③平面与平面不可能垂直；④四边形的面积有最大值.其中所有正确结论的序号为（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】利用正方体的对称性判断①，利用平行平面的性质判断②，当为棱中点时，由线面垂直可得面面垂直从而判断③，设，正方体棱长为，利用余弦定理和三角形面积公式判断④.【详解】如图：①由正方体的对称性可知，平面分正方体所得两部分的体积相等，①正确；②因为平面平面，平面平面，平面，所以,因为平面平面，平面平面，平面平面，所以，所以四边形是平行四边形，②正确；③在正方体中，有，，又，平面，所以平面，当分别为棱的中点时，有，则平面，又平面，所以平面平面，③错误；④设，正方体棱长为，，则，，，在中，由余弦定理可得，所以，由②得四边形一定是平行四边形，所以，所以当或时，取得最大值，④正确；综上①②④正确，故选：ABD【点睛】本题考查正方体的截面的性质，解题关键是由截面表示出相应的量与相应的关系，如果空间想象能力丰富，结论易得.由正方体对称性，①正确，从运动角度考虑，当从运动到时，截面面积发生变化，这是一个有限的连续过程，其中必有最大值和最小值，④正确，②③易于从线面、面面关系说明.11．已知点为坐标原点，直线与抛物线相交于、两点，则（    ）A． B．C．的面积为 D．线段的中点到轴的距离为2【答案】AC【分析】通过解方程组求出交点坐标，结合两点间距离公式、点到直线距离公式、中点坐标公式、直线垂直的性质逐一判断即可.【详解】由，不妨设，因为，所以选项A正确；因为，所以不互相垂直，因此选项B不正确；因为点到直线的距离为，所以的面积为，因此选项C正确；因为线段的中点的横坐标为：，所以线段的中点到轴的距离为3，因此选项D不正确，故选：AC12．已知函数，设（，2，3）为实数，，且，则（    ）A．函数的图象关于点对称B．不等式的解集为C．D．【答案】ABD【分析】对A，由可判断；对B，根据函数单调递增可求解；对CD，根据的性质画出函数图象，表示出直线的方程，根据均在直线上方建立不等关系可得.【详解】对A，，函数的图象关于点对称，故A正确；对B，在上单调递增，且，则化为，则，解得，故不等式的解集为，故B正确；对CD，，则可得，且关于点对称，在上单调递增，可得函数图象如下：均在直线上方，其中直线的方程为，则可得，，所以，，，即，故C错误，D正确.故选：ABD.三、填空题13．若实数x、y满足，则的最大值是．【答案】【分析】利用不等式求最值即可.【详解】，解得，当时，取得最大值.故答案为：.14．数列满足，若，，则＝．【答案】-6【分析】由递推公式可得数列的周期为4，又因为，再由计算即可.【详解】解：因为，，所以，，，，所以数列的周期为4，又因为，所以.故答案为：-615．已知函数的两个零点为，，函数的两个零点为，，则【答案】2【分析】由题可得，进而可得，然后结合条件即得.【详解】因为函数的两个零点为，，则，即，又，则，即，所以.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用同构函数可得，可得，结合条件即得.四、双空题16．设函数①当时，；②若恰有2个零点，则a的取值范围是．【答案】【分析】由分段函数解析式先求，再求的值，结合零点的定义分段求零点，由条件求a的取值范围.【详解】当时，，所以，所以，令，可得当时，，所以或，当或时，方程在上有唯一解，当或时，方程在上的解为或，当时，，所以当时，，当时，方程在上无解，综上，当时，函数有两个零点，当时，函数有两个零点，当时，函数有三个零点，当时，函数有两个零点，因为恰有2个零点，所以或，所以a的取值范围是.故答案为：；.