2024届高三第一学期期中质量监测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置上，在其他位置作答一律无效．3．本卷满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，则（）A．B．C．D．2．已知，若为纯虚数，则（）A．B．C．D．23．“”是“函数为奇函数”的（）A．充分且不必要条件B．必要且不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为，丹线长为，其母线与底面所成的角为，则这个圆台的体积为（）A．B．C．D．5．已知函数，现有如下四个命题：甲：该函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为；乙：该函数图象可以由的图象向右平移个单位长度得到：丙：该函数在区间上单调递增；丁：该函数满足．如果只有一个假命题，那么该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁6．已知奇涵数的图象关于直线对称，当时，，则（）A．B．C．D．7．若，则（）A．B．C．D．8．已知函数，若不等式的解集为，则函数的极小值是（）A．B．0C．D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在正方体中，分别为的中点，则（）A．B．C．平面D．平面10．设，则（）A．B．C．D．11．已知数列满足，则（）A．B．数列为递增数列C．D．12．已知函数，则下列结论中正确的是（）A．函数恒有1个极值点B．当时，曲线恒在曲线上方C．若函数有2个零点，则D．若过点存在2条直线与曲线相切，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，若与共线，则____________．14．写出一个同时满足下列两个性质的函数：____________．①；②．15．咖啡适度饮用可以提神醒脑、消除疲劳，让人精神振奋．冲咖啡对水温也有一定的要求，把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，经过分钟后物体的温度为满足．研究表明，咖啡的最佳饮用口感会出现在．现有一杯的热水用来冲咖啡，经测量室温为，那么为了获得最佳饮用口感，从冲咖啡开始大约需要等待____________分钟．（结果保留整数）（参考数据：）16．在平面四边形中，，将四边形沿折起，使，则四面体的外接球的表面积为____________；若点在线段上，且，过点作球的截面，则所得的截面中面积最小的圆的半径为____________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数．（1）求的最大值及相应的取值集合：（2）设函数，若在区间上有且仅有1个极值点，求的取值范围．18．（12分）在中，内角所对的边分别为，且．（1）求角：（2）已知是边的中点，且，求的长．19．（12分）已知数列中，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．20．（12分）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：当时，；（3）设为整数，若对于成立，求的最小值．21．（12分）如图，是半球的直行，是底面半圆弧上的两个三等分点，是半球面上一点，且．（1）证明：平面：（2）若点在底面圆内的射影恰在上，求直线与平面所成角的正弦值．22．（12分）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）设为两个不相等的实数，且，证明：．2024届高三第一学期期中质量监测数学参考答案及评分建议一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．题号12345678答案BDAACBAC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．题号9101112答案BCBDACDBCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．14．（答案不唯一）15．516．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．17．【解】（1），当，即时，，此时，的取值集合为．（2）．设，因为，所以，因为在区间上有且仅有1个极值点，所以，解得．18．【解】（1）因为，由正弦定理得，所以，因为，所以可知，又因为，所以．（2）因为是边的中点，所以，故，故．由余弦定理得，故，因为，所以．又因为，平方得，所以，故的长为．19．【解】（1）法一：因为，所以，所以，所以是常数列，所以，所以．法二：因为所以，①所以，②②-①，得，所以，所以是等差数列，由得，所以等差数列的公差，所以．（2）．当为偶数时，．当为奇数时，．所以（或）20．【解】（1）导函数，又，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）当时，．令，解得．列表如下：1-0+极小值所以当时，取最小值，所以．（3）由（2）可知，，当且仅当时，等号成立，所以，，所以．当时，．所以对于任意成立时，整数的最小值为3．21．【解】（1）连接，因为是底面半圆弧上的两个三等分点，所以有，又因为，所以都为正三角形，所以，四边形是菱形，记与的交点为，为和的中点，因为，所以三角形为正三角形，所以，所以，因为是半球面上一点，是半球的直径，所以，因为，所以平面．（2）因为点在底面圆内的射影恰在上，由（1）知为的中点，为正三角形，所以，所以底面，因为四边形是菱形，所以，即两两互相垂直，以为正交基底建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以，设平面的一个法向量为，则所以取，则设直线与平面的所成角为，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．22．【解】（1）的定义域为．由得，，当时，；当时，；当时，．故的递增区间为，递减区间为．（2）将变形为．令，则上式变为，即有，于是命题转换为证明：．不妨设，由（1）知．要证，即证，由于在上单调递减，故即证，由于，故即证，即证在上恒成立．令，则，，所以在区间内单调递增，所以，即成立．所以．