东北育才学校科学高中部2023年高考模拟考试数学科试题命题人：高三数学组一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知P，Q为R的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】B【解析】【分析】根据条件画出图，根据图形，判断选项.【详解】因为，所以，如图，对于选项A：由题意知P是Q的真子集，故，，故不正确，对于选项B：由是的真子集且，都不是空集知，，，故正确.对于选项C：由是的真子集知，，，故不正确，对于选项D：Q是的真子集，故，，故不正确，故选：B2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】方法一：先化简复数，求出，在写出它共轭复数，最后利用公式计算即可；方法二：先化简复数，利用即可.【详解】方法一：因为，，，，所以，所以，所以，所以．方法二：由，所以．故选：B．3已知随机变量分别满足，，且期望，又，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用正态分布的对称性可求得，根据二项分布以及正态分布的均值，结合题意列方程，可求得答案.【详解】由题意知，，，故，由，知，故，故选：C4.如图，在正三棱柱中，，是棱的中点，在棱上，且，则异面直线与所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．证明，得是异面直线与所成的角（或补角）．设，用余弦定理计算出余弦值．【详解】取棱靠近点的三等分点，取棱的中点，取的中点，连接，，，．由已知，又，所以是平行四边形，，同时可得是中点，而是中点，所以．所以，则是异面直线与所成的角（或补角）．又，平面，则平面，平面，则，设，则，从而，，，，，故，，．在中，由余弦定理可得．所以异面直线与所成的角的余弦值为．故选：B．5.若等比数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等比数列的性质可得，所以，进行整理可得答案．【详解】有题意可知：,由等比数列的性质可得：，，所以，整理可得：．进而得故选：D6.设函数，已知在上有且仅有个零点，则下列说法错误的是（）A.的取值范围是B.的图象与直线在上的交点恰有个C.的图象与直线在上的交点可能有个D.在上单调递减【答案】D【解析】【分析】由可求得的取值范围，结合已知条件可得出关于的不等式组，解出的取值范围，可判断A选项；在时，由可得出的值，可判断B选项；取，由可得出的可能取值，可判断C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】对于A选项，因为，当时，，因为函数在上有且仅有个零点，所以，，解得，A对；对于B选项，当时，且，由可得或，故的图象与直线在上的交点恰有个，B对；对于C选项，若，即当时，由，可得或，所以，的图象与直线在上的交点可能有个，C对；对于D选项，当时，，因为，则，，所以，函数在不一定单调递减，D错.故选：D.7.已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，，则下列结论一定正确的是（）A.函数的周期为3 B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由条件结合奇函数和偶函数的性质可得，，由此可得，再证明为周期为的函数，通过赋值可得，，由此判断B，结合周期函数定义判断A，根据周期函数性质判断CD.【详解】因为为奇函数，所以，将代换为可得，，取可得，，取可得，，又，所以，因为为偶函数，所以，将代换为可得，，又所以，将代换为可得，，所以，所以函数为周期函数，周期为4，由取可得，又，所以，B错误；，C错误；，D正确；因为，，所以函数不是周期为3的函数，A错误；故选：D.8.已知圆和，动圆M与圆，圆均相切，P是的内心，且，则a的值为（）A.9 B.11 C.17或19 D.19【答案】C【解析】【分析】由两圆方程得圆内含于圆，由P是的内心，且得，动圆M内切于圆，分别讨论圆内切、外切于动圆M，由圆心距得，即可求解【详解】根据题意：圆，其圆心，半径，圆，其圆心，半径，又因，所以圆心距，所以圆内含于圆，因为P为的内心，设内切圆的半径为，又由，则有，得，因为动圆M与圆，圆均相切，设圆M的半径为r，（1）当动圆M内切于圆，与圆外切（），则有，，所以，所以，得a＝17；（2）当动圆M内切于圆，圆内切于动圆M，则有，，所以，所以，得a＝19.综上可得：a＝17或19；故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9.在中，内角，，所对的边分别，，，，下列说法正确的是（）A.若，则 B.外接圆的半径为C.取得最小值时， D.时，取得最大值为【答案】BD【解析】【分析】对A，由正弦定理化简可得，再根据三角形面积公式判断即可；对B，根据结合正弦定理判断即可；对C，根据正弦定理与余弦定理化简可得，再根据基本不等式与三角函数性质判断即可；对D，根据三角函数值域求解即可.【详解】对A，由正弦定理即，又，故，故三角形面积为，故A错误；对B，，则，设外接圆的半径为，则，故，故B正确；对C，由及正弦定理可得，由余弦定理，即，化简可得，由基本不等式，，当且仅当时取等号，此时，故当，时，取得最小值，故C错误；对D，由C，，当时，取得最大值，故D正确；故选：BD10.在正方体中，分别为棱，，上的一点，且，是的中点，是棱上的动点，则（）A.当时，平面B.当时，平面C.当时，存在点，使四点共面D.当时，存在点，使，，三条直线交于同一点【答案】BCD【解析】【分析】利用图形，根据空间中点线面的位置关系逐一对各项进行判断即可得出结果.【详解】对于A，当时，如图1，在取点，使,取中点,易知，平面，故平面，所以选项A错误；对于B，如图2，当时，分别为，，的中点，连接，，，，易知四边形与均为平行四边形，则，，所以，则A，F，E，C四点共面，平面，所以选项B正确；对于C，如图3，延长与的延长线交于点M，连接与的交点即为点I，则A，F，H，I四点共面，所以选项C正确；对于D，如图4，连接并延长与的延长线交于点N，连接与的交点即为点I，则存在点I，使，，三条直线交于同一点N，所以选项D正确.故选：BCD.11.已知，，，，则以下结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】先根据题意将条件转化为a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标．从而得到两交点关于直线对称，进而即可判断A；结合选项A整理得到，进而即可判断B；再结合选项A，构造函数，根据导函数性质即可判断C；结合选项B即基本不等式(注意：，即不等式取不到等号)即可判断D．【详解】对于A，由题意知，a，b是函数分别与函数，图象交点的横坐标，由的图象关于对称，则其向上，向右都平移一个单位后的解析式为，所以的图象也关于对称，又，两个函数的图象关于直线对称，故两交点，关于直线对称，所以，，故A正确；对于B，结合选项A得，则，即，即成立，故B正确；对于C，结合选项A得，令，则，所以在上单调递减，则，故C错误；对于D，结合选项B得(，即不等式取不到等号)，故D正确．故选：ABD．12.已知双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于点、，与双曲线的渐近线交于点、（、在第一象限，、在第四象限），为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若轴，则的周长为B.若直线交双曲线的左支于点，则C.面积的最小值为D.的取值范围为【答案】BD【解析】【分析】利用双曲线的定义可判断A选项；利用平行四边形的几何性质可判断B选项；设直线的方程为，求出、，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可判断C选项；由双曲线的定义，求出关于的函数关系式，利用函数的单调性可求得的取值范围，可判断D选项.【详解】双曲线的标准方程为，则，易知点、，双曲线的渐近线方程为.对于A选项，当轴，直线的方程为，联立，可得，此时，，则，此时，的周长为，A错；对于B选项，因为双曲线关于原点对称，则点关于原点的对称点也在双曲线上，因为若直线交双曲线的左支于点，则点、关于原点对称，即、的中点均为原点，故四边形为平行四边形，所以，，即，B对；对于C选项，易知的方程为，的方程为，所以，，因为直线与双曲线的右支交于点、，则直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、，联立可得，则，解得，由韦达定理可得，，可得，联立可得，即点，联立可得，，即点，所以，，，所以，，当且仅当时，等号成立，C错；对于D选项，，当时，，当时，，因为函数在上单调递减，此时，当时，因为函数在上单调递减，此时，综上所述，的取值范围是，D对.故选：BD.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据同角的基本关系可得，再根据正弦的二倍角公式，可得，再根据诱导公式可得，由此即可求出结果.【详解】因为，，,又因为，所以所以,所以,.故答案为：.14.某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查．参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3，其中甲班中女生占，乙班中女生占．则该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率是______．【答案】##0.5【解析】【分析】用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，由题可知P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，由全概率公式即得.【详解】如果用A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B表示是女生的事件，则Ω＝A1∪A2，且A1，A2互斥，B⊆Ω，由题意可知，P(A1)＝，P(A2)＝，且P(B|A1)＝，P(B|A2)＝.由全概率公式可知P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＝×＋×＝，即该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率为.故答案为：15.已知平面向量，，且满足，若为平面单位向量，则的最大值________【答案】【解析】【分析】先根据平面向量的数量积公式求出与的夹角，根据条件，可设，再设，根据平面向量的坐标运算和数量积公式，以及三角恒等变换和三角函数的性质得出，即可求出结果.【详解】解：，设与的夹角为，，，又，则，不妨设，再设，则，即，所以的最大值为.故答案为：.16.设n∈N*，an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，（[x]表示不超过实数x的最大整数），则(t∈R)的最小值为____.【答案】【解析】【分析】根据展开式求出系数和得，求出，将转化为点到的距离的平方，结合几何意义即可得解.【详解】an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，即，，考虑，，所以递减，所以，所以，，，可以看成点到的距离的平方，即求点到直线的距离最小值的平方，由图可得即求点或到直线的距离的平方，即故答案为：【点睛】此题考查求二项式系数，数列增减性与求和，通过几何意义转化求解代数式的最值，涉及转化与化归思想和数形结合思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17已知函数．（1）求的单调递增区间；（2）设为锐角三角形，角所对边，角所对边，若，求的面积．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用降次公式化简，然后利用三角函数单调区间的求法，求得的单调递增区间.（2）由求得，用余弦定理求得，由此求得三角形的面积.【详解】（1）依题意，由得，令得.所以的单调递增区间.（2）由于，所以为锐角，即.由，得，所以.由余弦定理得，，解得或.当时，，则为钝角，与已知三角形为锐角三角