兰州一中2023-2024-1学期期中考试解析高三数学说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟.请将答案填在答题卡上，交卷时只交答题卡。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1＋i1.若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为(D)1＋ai1A.1B.0C.－D.－121＋i解析设z＝bi，b∈R且b≠0，则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，1＋ai∴1＝－ab，且1＝b，解得a＝－1，故选D.→1→4→→→2.设D为ABC所在平面内一点，AD＝－AB＋AC，若BC＝λDC(λ∈R)，则λ＝(D)33A.2△B.3C.－2D.－3→1→4→→→→→→→→→→解析：由AD＝－AB＋AC，可得3AD＝－AB＋4AC，即4AD－4AC＝AD－AB，则4CD＝BD，33→→→→→→→即BD＝－4DC，可得BD＋DC＝－3DC，故BC＝－3DC，则λ＝－3.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a8＝0，S11＝33，则公差d的值为(C)A.1B.2C.3D.4解析∵a2＋a8＝2a5＝0，∴a5＝0，（a1＋a11）×11又S11＝＝11a6＝33，∴a6＝3，从而公差d＝a6－a5＝3.21－x24.函数f(x)＝的图象大致为(B)lg|x|兰州一中高三年级期中考试数学试卷第1页共4页{#{QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=}#}1－x2≥0，解析：得－10且x→0时，f(x)→0，排除D，只有B项符合.5E15.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg，2E2其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(A)A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.15E1解析(1)依题意，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得lg＝－1.45－2E2E12E1(－26.7)＝25.25.所以lg＝25.25×＝10.1，即＝1010.1.E25E26.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若向量m＝(a，－cosA)，n＝(cosC，2b－c)，且m·n＝0，则角A的大小为(B)ππππA.B.C.D.6432解析法一由m·n＝0，得acosC－cosA(2b－c)＝0.由正弦定理得sinAcosC－cosA(2sinB－sinC)＝0，即sinAcosC＋cosAsinC＝2sinBcosA，所以sin(A＋C)＝2sinBcosA，所以sin(π－B)＝2sinBcosA.从而sinB＝2sinBcosA.2π因为0b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a解析易知f(－x)＝|ln(x2＋1＋x)|＝1|ln|＝|－ln(x2＋1－x)|＝|ln(x2＋1－x)|＝f(x)，x2＋1－x∴f(x)在R上为偶函数，当x>0时，f(x)＝|ln(x2＋1－x)|＝|ln(x2＋1＋x)|单调递增，1.1－0.2又3>3>log34>1>3>0，1.11.1－0.2∴f(－3)＝f(3)>f(log34)>f(3)，即c>a>b.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin(2x)，则下列结论正确的是(ABCD)6πA.x＝是函数f(x)图象的一条对称轴；37B.(,0)是函数f(x)图象的一个对称中心；12πC.将函数f(x)图象向右平移单位所得图象的解析式为f(x)＝－cos2x；6D.函数f(x)在区间[,]内单调递增.63π2ππ177π－πππ－解析∵f3＝sin36＝1，∴x＝是一条对称轴，A正确.又f12＝sin66＝0，因此B3πx－ππ26－2x－ππ正确.对于C，平移后y＝sin6＝sin2＝－cos2x，C正确.对于D，当－≤x≤时，63πππππ－，－≤2x－≤，故f(x)在63内单调递增，D正确.262lnx10.对于函数f(x)＝，下列说法正确的是(AC)x1A.f(x)在x＝e处取得极大值；B.f(x)有两个不同的零点；e兰州一中高三年级期中考试数学试卷第3页共4页{#{QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=}#}C.f(4)＜f(π)＜f(3)；D.π4＜4π.1－lnx解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝.令f′(x)＝0，得x＝e.∴f(x)在(0，e)上单调递增，x21在(e，＋∞)上单调递减，因此f(x)在x＝e处取得极大值f(e)＝，A正确.令f(x)＝0，解得x＝1，e故函数f(x)有且仅有一个零点，B错.由f(x)在(e，＋∞)上单调递减，得f(4)＜f(π)＜f(3)，则C正确.ln4lnπ因为f(4)＜f(π)，即＜，所以ln4π＜lnπ4，则4π＜π4，D错误.综上知，正确的为AC.4π11.已知等差数列是递增数列，其公差为，前项和为，且满足，则下列andnSna73a5结论正确的是（ABD）A.d0B.a10当时，最小当时，的最小值为B.n5SnD.Sn0n8解析：因为等差数列是递增数列，所以又因可得，所以and0.a73a5da5，故正确又因，则，且为的最a1a54d3d0A,B.a4a5d0S3S4Sn8(aa)小值，故C错误；又S184(aa)4a4d0，82455，故正确S77a40D.12.已知函数fx及其导函数gx的定义域均为R.f2xf42x，fxfx0，当x2,4时，gx0，g11，则（BCD）A.fx的图象关于x1对称B.gx为偶函数C.gxgx40D.不等式gx1的解集为x18kx18k,kZ解析：由f2xf42x可得fxf4x，故可知fx的图象关于x2对称，故A错误，由fxfx0得fxfx0，由fxgx得gxgx0，故gx为偶函数，故B正确，由fxf4x可得fxf4x，所以gxg4x，又gx为偶函数，所以gxg4xgx4gxgx40，即gxgx40，故C正确，兰州一中高三年级期中考试数学试卷第4页共4页{#{QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=}#}由gx为偶函数且gxgx40可得gxgx4gx8gx8，所以gx是周期函数，且周期为8，又当x2,4时，gx0，可知gx在x2,4单调递减故结合gx的性质可画出符合条件的gx的大致图象：由性质结合图可知：当18kx18k，kZ时，gx1，故D正确，故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．313.已知tanθ＝3，则cos(2)＝________.2答案3532sinθcosθ2tanθ63解析∵tanθ＝3，∴cos(2)＝sin2θ＝＝＝＝.2sin2θ＋cos2θtan2θ＋19＋1514.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.T7πππ解析：由题图可知A＝2，＝－＝，41234所以T＝π，故ω＝2，因此f(x)＝2sin(2x＋φ)，π，0又3对应五点法作图中的第三个点，πππ2x＋因此2×＋φ＝π，所以φ＝，故f(x)＝2sin3.3315.已知向量a(3,1)，b(t,1)，a,b45，则b在a方向上的投影向量为_______.31答案：(,)22ab3t12解析：因为a,b45，所以，cosa,b，可得2t23t20，ab10t212兰州一中高三年级期中考试数学试卷第5页共4页{#{QQABDYIUgggoAAAAAAgCEwEgCgIQkBECAIoOQBAIMAIBQRNABAA=}#}1a31因为t，所以t2，b(2,1).则b在a方向上的投影向量为bcos45(,).3a22x116.将函数f(x)2cos2cos(x)图象上所有点的横坐标变为原来的，再向左平移232(0)个单位长度，得到函数g(x)的图象，若对任意的xR，均有g(x)g()成立，则12的最小值为__________.答案：12解析：由题f(x)sin(x)1，则g(x)sin(2x2)1，因为对任意的xR，均有66g(x)g()成立，所以2x22k(kZ)2x22k(kZ)，即126262k(kZ)，又0，所以当k0时，的最小值为.1212四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17题10分；18-22题每题12分.)n＋1*17.已知数列{an}的前n项和Sn＝2－2，数列{bn}满足bn＝Sn(n∈N).(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列{bn}的前n项和Tn.n＋1解：(1)∵Sn＝2－2，1＋1∴当n＝1时，a1＝S1＝2－2＝2；n＋1nn当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝2.1n又a1＝2＝2也符合，∴an＝2.…………………………5分n＋1(2)由已知得，bn＝Sn＝2－2，234n＋1∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2＋2＋…＋2)－2nn4（1－2）＋＝－2n＝2n2－2n－4.…………………………10分1－218.为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度kx(单位：cm)满足关