大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学命题人：黄启光审题人：李群丽得分：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．已知复数z1i（i为虚数单位），z是z的共轭复数，则的值为z21A．1B．C．D．2222．设全集UR，Axy2xx2，Byy2x,xR，则ðABUA．xx0B．x0x≤1C．x1x≤2D．xx23．已知向量a，b满足ab7，a3，b4，则abA．5B．3C．2D．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723，633，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是1123A．B．C．D．43983xa215．若函数fxxx1在区间,3上有极值点，则实数a的取值范围是322551010A．2,B．2,C．2,D．2,2233ln326．已知alog2，b，c．则a，b，c的大小关系是3ln43A．abcB．acbC．cabD．bac7．已知tantan3，sin2sinsin，则tan3A．6B．C．6D．42x8．已知函数fxx3x2sinx的零点分别为x，x，…，x，nN*），则x2x2x2412n12n11A．B．C．0D．224二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知随机变量X服从正态分布N100,102，则下列选项正确的是（参考数值：随机变量服从正态分布N,2，则P≤≤0.6827，P2≤≤20.9545，P3≤≤30.9973）A．EX100B．DX10C．PX≥900.84135D．PX≤120PX≥9010．下列说法正确的是A．若不等式ax22xc0的解集为xx1或x2，则ac2B．若命题p：x0,，x1lnx，则p的否定为：x0,，x1lnxC．在△ABC中，“sinAcosAsinBcosB”是“AB”的充要条件D．若mx23x2m0对m0,1恒成立，则实数x的取值范围为2,111．已知函数fxAsinx4（A0，0，0）的部分图象如图所示，若将函数81fx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度，可得46函数gx的图象，则下列说法正确的是1A．函数fx的解析式为fx2sinxB．函数gx的解析式为gx2sin2x2664C．函数fx图象的一条对称轴是xD．函数gx在区间,上单调递增3312．已知三棱锥P-ABC内接于球O，PA⊥平面ABC，PA8，AB⊥AC，ABAC4，点D为AB的中4点，点Q在三棱锥P-ABC表面上运动，且PQ4，已知在弧度制下锐角，满足：cos，525cos，则下列结论正确的是5A．过点D作球的截面，截面的面积最小为4B．过点D作球的截面，截面的面积最大为24C．点Q的轨迹长为44D．点Q的轨迹长为48第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．数据2，4，6，8，10，12，13，15，16，18的第70百分位数为．x2y214．已知F是双曲线1的左焦点，A1,4，P是双曲线右支上的一动点，则PFPA的最小值412为．n51n15．若x的展开式中第4项是常数项，则7除以9的余数为．x2x1,x0,1x1216．已知函数fx的定义域为0,，且fxlog23x,x1,2，函数gxfx2在2fx2,x2,n区间内的所有零点为（，，，…，）．若，则实数的取值范围是．0,axii123nxi16ai1四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）半径为R的圆内接△ABC，AB3R，∠ACB为锐角．（1）求∠ACB的大小；（2若∠ACB的平分线交AB于点D，CD2，AD2DB，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）1n已知数列an是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为．anan12n1（1）求数列an的通项公式；an（2）设bnan12，求数列bn的前n项和Tn．19．（本小题满分12分）如图①，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为AB，CD的中点，CD2AB2EF4，M为DF的中点．现将四边形BEFC沿EF折起，使平面BEFC⊥平面AEFD，得到如图②所示的多面体．在图②中，图①图②（1）证明：EF⊥MC；（2）求平面MAB与平面DAB夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）2已知函数fxlnx．x（1）讨论函数yfxx零点的个数；（2）是否存在正实数k，使得fxkx恒成立．21．（本小题满分12分）1某梯级共20级，某人上梯级（从0级梯级开始向上走）每步可跨一级或两级，每步上一级的概率为，上32两级的概率为，设他上到第n级的概率为P．3n（1）求他上到第10级的概率P10（结果用指数形式表示）；（2）若他上到第5级时，求他所用的步数X的分布列和数学期望．22．（本小题满分12分）x2y22已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，其左、右焦点分别为F，F，点P是坐标平面内a2b221273一点，且OP,PFPF（O为坐标原点）．2124（1）求椭圆C的方程；1（2过点S0,且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径3的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标和△MAB面积的最大值；若不存在，说明理由．大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（三）数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案BDDCCBAAACADABDABD2．D【解析】易知≤≤，，∴或，故Ax0x2Byy0ðUAxx0x2ðUABxx2．故选D．3．D【解析】由条件abab知a，b同向共线，所以abab1，故选D．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1lC182的概率为8，故选．p2CC93695．C2111【解析】由题意f'xxax1在区间,3上有零点，∴ax，x,3，2x210210∴2≤a，又当a2时，f'xx1≥0，fx单调，不符合，∴a2，∴2a，故33选C．6．B2222【解析】∵clog33log39log38log2a，∴ca，又clog43log31633333344ln3log327log3b，∴cb，∴acb．故选B．44ln47．A【解析】由条件知coscos0，sincoscossin2sinsin，两边同除以coscos3tantan得：tantan2tantan，∴tantan，从而tan6，故选A．21tantan8．A1【解析】由fx0xx2xsinx0，x0为其中一个零点，41x2214令gxxxsinx，∵g00，∴令gx0sinx，4x∵1≤sinx≤121x24211111∴≤1，∴x≤x，∴x≤0，∴x，所以fx）共有三个零点，0，，x422221∴x2x2x2，故选A．12n29．AC【解析】∵随机变量X服从正态分布N100,102，正态曲线关于直线X100对称，且EX100，DX102100，从而A正确，B错误，根据题意可得，P90≤X≤1100.6827，P80≤X≤1200.9545，1∴PX≥900.50.68270.84135，故C正确；2PX≤120与PX≥90不关于直线X100对称，故D错误．故选AC．10．AD【解析】对于A，不等式ax22xc0解集为xx1或x2，则方程ax22xc0的两根为1，21a2，故，则a2，c4，所以ac2，故A正确；对于B，全称命题的否定是特称命题，量c2a词任意改成存在，结论进行否定应是小于等于，故B不正确；对于C，sinAcosAsinBcosB2sinAcosA2sinBcosBsin2Asin2B，又02A2B2，所以AB或AB，显然不是充要条件，故C错误；对于D，令fmx22m3x，则2fm0，对m0,1恒成立，则f03x0，解得，故正确，故选．22x1DADf1x3x2011．ABDT211【解析】由图知，A2，，∴T4，得．故fx2sinx4．4221∵点0,1在函数图象上，∴2sin41，即sin4．又∵0，∴04，∴4．28261故函数fx的解析式为fx2sinx，故A正确；261将fx的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，可得y2sin2x的图象，再将所得46图象向右平移个单位长度，可得gx2sin2x2sin2x的图象，故B正确；6666当x时，f2sin00，不是最值，故直线x不是fx图象的一条对称轴，故C不正333确；44当x,时，2x2,2，则gx2sin2x在,还上单调递增，故366263D正确，故选ABD．12．ABD【解析】三棱锥P-ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球，∴2R82424246，∴R26，取BC的中点O1，∴O1为△ABC的外接圆圆心，∴OO1平面ABC，如图．2222当OD⊥截面时，截面的面积最小，∵ODOO1O1D4225，此时截面圆的半径为rR2OD22，∴最小截面面积为r24，A对；当截面过球心时，截面圆的面积最大为R224，B对；由条件可得BPC，BPACPA，则点Q的轨迹分别是以点P为圆心，4为半径的三段弧，其中一段弧圆心角为，两段弧圆心角为，弧长为2448，D对．故选ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．1470【解析】因为107为整数，所以第70百分位数为第7个数13和第8个数15的平均值14．100