2023年秋季高一入学分班考试模拟卷（通用版）03数学·全解全析一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在△ABC中，∠C＝30°，BD平分∠ABC交AC于点D，DEAB，交BC于点E，若∠BDE＝50°，则∠A的度数是（ ）A．40° B．50° C．60° D．70°【答案】B【分析】首先根据DEAB，∠BDE=50°，可得∠ABD=50°，再根据BD平分∠ABC，可求得∠ABC的度数，最后根据三角形内角和定理，即可求得．【详解】解：∵DEAB，∠BDE=50°，∴∠ABD=∠BDE=50°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABC=2∠ABD=100°，∴∠A=180°−∠ABC−∠C=180°−100°−30°=50°，故选B．2．如图，四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）  A．当时，它是正方形 B．当时，它是菱形C．当时，它是矩形 D．当时，它是矩形【答案】A【分析】根据正方形的判定、矩形的判定、菱形的判定逐项判断即可得．【详解】解：A、当时，它是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形），不一定是正方形，则此项错误，符合题意；B、当时，它是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），则此项正确，不符合题意；C、当时，它是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；D、当时，它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形），则此项正确，不符合题意；故选：A．3．如图，直线与x轴交于点，与直线交于点B，则关于x的不等式组的解集为（    ）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】结合图象与点A的坐标即可得到每个不等式的解集，根据找不等式组解集的方法即可得到不等式组的解集．【详解】解：观察图象可得的解集为：，∵直线与x轴交于点，∴的解集为：，∴关于x的不等式组的解集为，故选：D．4．如图，为的直径，，为上的两点，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作辅助线连接，由于为的直径，那么可知，于是易求，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可求．【详解】作辅助线连接，∵为的直径，∴，∵，，∴，∴．故选：D．5．已知函数，当时，y有最大值a，最小值b，则的值为（    ）A．13 B．5 C．11 D．14【答案】A【分析】直接利用配方法求出二次函数最小值b，进而利用二次函数增减性得出a的值，即可得出答案．【详解】解：整理得：故当时，y有最小值b为2；当时，y有最大值a为11；故；故选：A．6．如图，在中，．作交边于点E，连接，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】过点作于点，过点作于点，根据三角函数以及勾股定理求出的长度，然后根据三角形面积公式得出的长度，结果可得．【详解】解：过点作于点，过点作于点，，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，，即，，，故选：A．7．如图，中，，绕点逆时针旋转得到，点的对应点是点，连接，若，则旋转角是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据旋转的性质得出，，由等腰三角形三线合一性质得出，再求出的度数即可．【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到，，∴，，∵，∴，∴，∴旋转角度数是．故选：D．8．代数中的很多等式可以用几何图形来直观地表示，例如：如图1，现有类正方形卡片2张、类正方形卡片2张和类长方形5张，可以拼成如图2的所示的一个长为、宽为的大长方形，可以说明成立，根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是（    ）A．方程思想 B．类比思想 C．数形结合思想 D．分类讨论思想【答案】C【分析】根据数形结合的思想进行解答即可．【详解】解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”，它体现的数学思想是数形结合思想，故C正确．故选：C．9．如图，已知一条直线经过点，，将这条直线向左平移与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的函数解析式为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．【详解】解：设直线AB的解析式为，∵，在直线AB上，∴，解得，∴直线AB的解析式为；∵将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，平移后的图形与原图形平行，∴设平移以后的函数解析式为：．∵,,∴,,∴，解得，∴设平移以后的函数解析式为：故选：B．10．若关于的方程有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】由关于的方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，由此即可解答．【详解】∵a=1，b=p，c=q，关于的方程有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=p2-4×1×q=p2-4q＞0，即p2-4q＞0．故选A．11．如图，矩形，，，点是边上的动点，点F是射线BC上的动点，且，连接，．若，则m的最小值为（    ）  A． B． C． D．【答案】C解：如图，延长到G，使，连接、，  在矩形，，∴，又∵，∴，∴∴，即，∵，∴，∴当G、E、C三点共线时，m取最小值为GC，，∴m的最小值为．故选C．12．如图，在中，，于O，于E，以点O为圆心，为半径作半圆，交于点F，若点F为的中点，，点P是边上的动点，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】A解：作E点关于直线的对称点D，连接，交于点P，连接，，，交于点N，过D点作，交的延长线于点M，如图，∵E点关于直线的对称点为点D，∴垂直平分线段，∴，，，∴，即当点D、P、F三点共线时，最短，最短为线段的长，如上图所示，∵，点F为的中点，∴，∵，∴在中，，∴，即，∵在中，，∴，即，∵，∴，即，∵，∴是等边三角形，∴，∴，∴，∵，，，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴在中，，故选：A．二、填空题：本题共2小题，每小题2分，共10分。13．分解因式：_____________．【答案】【分析】先提取公因式a，再根据完全平方公式进行分解即可．【详解】解：．故答案为．14．若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围______．【答案】【分析】两方程相加可得，根据题意得出关于的不等式，解之可得．【详解】解：，，得：，，，，解得，故答案为：．15．如图，数轴上两点所表示的数分别为，则______．（填“”“”或“”）  【答案】【分析】根据数轴先判断出的大小，再根据有理数的加法法则计算即可解决问题．【详解】解：根据数轴可得：，，，故答案为：．16．如图，以O为支点，木棍所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为，，则的长为______．  【答案】【分析】根据杠杆平衡原理可得，则，求得，即可得到的长．【详解】解：∵，，根据杠杆平衡原理，可得，∴，解得，∴，故答案为：17．观察下列式子：；；根据上述规律填写一个正数，满足：___________．【答案】75【分析】利用题中的等式得到（n为正整数）．【详解】由题意得：，∵∴，故答案为：．三、解答题：共7小题，18、19、20各6分，21、22各8分，23、24各10分，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18．某工厂需要焊接一批钢架，钢架形状是如图所示的等腰三角形，其中，．在加工时需要再焊接一根立柱加固，焊接前工人需要先确定的位置，使得，垂足为点D，焊接完成后，他们还需要知道这个钢架（包括立柱）的总用料．请你根据以上信息解答下列问题：  (1)尺规作图：在图中作出立柱，并标注点D（不写做法，但要保留作图痕迹）；(2)若立柱的长为2米，请你求出这个钢架的总用料是多少米?（结果保留根号）．（1）解：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，适当长为半径画弧交于一点，连接该点与点，与交于一点，可知平分，又∵，∴，如图所示，线段为所求图形；  （2）∵，，∴，∵，∴，，在中，，∴，，∴，，∴，，∴，答：这个钢架的总用料是米钢材．19．定义：如图，反比例函数图象上的点A与反比例函数图象上的点B关于原点O对应（经过原点O），且，我们称反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”，其中O为位似中心．  (1)反比例函数_____反比例函数的“位似反比例函数”．（填“是”或“不是”）(2)若反比例函数的图象过点，它的“位似反比例函数”为．①求m的值．②若点在反比例函数的图象上，其对应点在“位似反比例函数”的图象上，求证：．（1）解：设反比例函数图象上一点A的坐标为，∵，过点O，∴点B的坐标为．∵，∴点B在反比例函数的图象上．∴反比例函数是反比例函数的“位似反比例函数”．故答案为：是．（2）①解：∵点A的坐标为，，且AB过点O，∴点B的坐标为．∴．②证明：如下图，  ∵点在反比例函数的图象上，其对应点在“位似反比例函数”的图象上，∴．∵，∴，∴，即．20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，，若与是以坐标原点O为位似中心放大后的图形，点A，B，C的对应点分别为，，，且的坐标为．  (1)请在所给平面直角坐标系第一象限内画出．(2)点的坐标为______．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据点A和点的坐标可知位似比为2，然后根据位似图形的作法作图即可；（2）根据所作图形，写出的坐标即可．【详解】（1）解：如图所示：  （2）解：由图可得，点的坐标为，故答案为：．21．某建筑工地的平衡力矩塔吊如图所示，在配重点E处测得塔帽A的仰角为，在点E的正下方20米的点D处测得塔帽A的仰角为，请你依据相关数据计算塔帽A离地高度（长）．（计算结果精确到米，参考数据：，，）【答案】塔帽A离地高度（长）约为米．【分析】连接，先证四边形是矩形，得，米，再由含角的直角三角形的性质得，然后求出，设米，则米，米，由得出方程，解得：，即可求解．【详解】解：连接，如图所示，由题意得：，，，米，，四边形是矩形，，米，，，在中，，，设米，则米，米，，，解得：，（米，答：塔帽A离地高度（长）约为米．22．随着神州十五号载人飞船顺利发射，人们对航天事业愈发关注，航天周边产品销量也逐渐提高．某商场准备购进一批火箭模型进行售卖，已知一个B款火箭模型比一个A款火箭贵15元，用1600元购入的A款火箭模型与2200元购入的B款火箭模型数量相同．(1)这两款火箭模型的进货单价各是多少元？(2)已知商场准备购进这两款火箭模型共100个，后将这批火箭模型以A款每个70元，B款每个90元的价格出售．求可获得的总利润y（元）与其中A款火箭模型的数量x（个）之间的关系式．【答案】(1)款火箭模型的进货单价是40元，款火箭模型的进货单价是55元(2)【分析】（1）设款火箭模型的进货单价是元，则款火箭模型的进货单价是元，根据用1600元购入的款火箭模型与2200元购入的款火箭模型数量相同建立方程，解方程即可得；（2）款火箭模型的数量为个，款火箭模型的数量为个，根据利润每个的利润的数量每个的利润的数量即可得．【详解】（1）解：设款火箭模型的进货单价是元，则款火箭模型的进货单价是元，由题意得：，解得，经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，则，答：款火箭模型的进货单价是40元，款火箭模型的进货单价是55元．（2）解：由题意得：款火箭模型的数量为个，款火箭模型的数量为个，则，即，，，所以．23．问题提出(1).如图1，，A，D是上两点，B，C是上两点，则______（填“＞，＜或＝”）．问题解决(2).现有一块三角形板材（），P是AC上一点，王师傅接到任务需要在这块板材上裁出一个，使得的面积是面积的一半，且Q在的一边上．王师傅思量了一会儿，将板材放置在切割垫上，将点O与切割垫上坐标系的原点重合，OC与x轴重合，如图2所示，发现点A，C，P的坐标分别为，，．之后王师傅直接在OC上快速确定了点Q的位置．①求王师傅确定的点Q的坐标．②这个任务派发给另一位李师傅的时候，李师傅确定的符合条件的点在AO边上，请找出李师傅认为的符合条件的点的坐标．  【答案】(1)＝(2)①；②【分析】