湖北省重点高中智学联盟2023年秋季高三年级10月联考数学答案1.퐵2.퐴3.퐵4.퐴5.B6.C7.D8.C9.퐴퐵퐷10.퐴퐶퐷11.퐴퐵12.퐵퐶8113.1614.π,415.[3]16{푡│−푒≤푡<0或푡=푒}23212.解法一：푓'(푥)=−3푥+4푥−3，设切点为(푥0,−푥0+2푥0−3푥0)，322则切线方程为푦+푥0−2푥0+3푥0=(−3푥0+4푥0−3)(푥−푥0)，32将푥=−2，푦=푚代入得，푚=2푥0+4푥0−8푥0+6，令푔(푥)=2푥3+4푥2−8푥+6，则푔'(푥)=6푥2+8푥−8=2(푥+2)(3푥−2)，22∴푥>或푥<−2时，푔'(푥)>0，当−2<푥<时，푔'(푥)<0，3322故函数푔(푥)的单增区间为(−∞,−2)和(3,+∞)，푔(푥)的单减区间为(−2,3)，282∴푔(푥)的极大值为푔(−2)=22，极小值为푔()=，32782由题意知，<푚<22，又푚为整数，27∴푚=4，5，……20，21222解法二：푓'(푥)=−3푥+4푥−3，푓''(푥)=−6푥+4，∴函数푓(푥)的对称中心坐标为P(3,푓(3))23838223852=，−，푓(푥)在点处切线方程为푦−−=푓'()(푥−)，即为푦+=−(푥−)，再令(327)函数P(27)3327338282푥=−2，得푦=，又푓(−2)=22由题意知，<푚<22，又푚为整数，27,27∴푚=4，5，……20，2116.(1)当a>1时，先求？的值，有一个交点时，由题意可知切点在直线y=x上，设切点横坐标为푥0,由1푥푥11导数几何意义可知=푎0∙lna=1,∴푎0=e,lna=，a=e；푥0∙푙푛푎ee1푥푡푥=，可得푡=log푡푥，令푡=푎，则log푥=푥（0<且≠1），(2)由푒푡lnx(푒)푒푒푎푎aa11−e푡푡由提供的信息可得，≤a<或==e，∴e=푒1a푒e{푡│−푒≤푡<0或푡=푒}17.解：(1)∵퐴={푥|푥2−4푥+3<0}，∴퐴=(1,3)，………………………（1分）푥−2又由≤0，得(푥−2)(푥−4)≤0，且(푥−4)≠0∴퐵=[2,4)，……………（3分）푥−4∴퐴∩퐵=[2,3)，………………………（4分）∵∁푈퐵=(−∞,2)∪[4,+∞)，∴퐴∪(∁푈퐵)=(−∞,3)∪[4,+∞)；……………………（6分）(2)∵퐵∪퐶=퐵，∴퐶⊆퐵，……………………（7分）又∵퐶=[푎,푎+1]，퐵=[2,4)，푎≥2,∴{푎+1<4,解得2≤푎<3，……………………（9分）∴实数푎的取值范围为[2,3)．……………………（10分）18.解：(1)∵函数푓(푥)是奇函数，∴푓(−푥)=−푓(푥)………………………（1分)2−푥+푎2푥+푎即=−，整理有对于∀x∈R,(1+a)(2x+1)=0,∴푎=−1………………（4分）2−푥+12푥+1（此处用푓(0)=0得出푎=−1的如果没有验证函数푓(푥)是奇函数的扣2分）(2)函数푓(푥)在R上单调递增，证明如下：………………（5分）2푥−122푙푛2∙2푥∵푓(푥)==1−푥，∴푓(푥)=2>0,2푥+12+1'(2푥+1)∴函数푓(푥)在R上单调递增……………（8分）用单调性定义证明的同样给分。（3）设A={y│y=푔(푥1),푥1∈[0,1]},B={y│y=3푓(푥2),푥2∈[0,1]},有条件可知，A⊆B……………（9分）由（2）问可知，y=3푓(푥2)在푥2∈[0,1]时单调递增，∴B=[0,1]，……………（10分）1푏≥011又∵A=[b,2+b]，∴,，∴0≤b≤……………（12分）{2+b≤12푠푖푛10°解：（）sin 40°(3−tan 10°)sin 40°(3−)（分）19.1=푐표푠10°……………13푐표푠10°−푠푖푛10°2sin(60°−10°)2푐표푠40°푠푖푛80°=sin 40°()=sin 40°=sin 40°==1……………（6分）푐표푠10°푐표푠10°푐표푠10°푐표푠10°1−푐표푠20°1+푐표푠80°−푠푖푛30°+푠푖푛50°方法一：210°240°+푠푖푛10°40°++（分）(2)푠푖푛+푐표푠cos=222……81푐표푠80°−푐표푠 20°+푠푖푛50°3푐표푠80°−푐표푠 20°+푠푖푛50°=1−=+4+2423푐표푠（50°+30°）−푐표푠（50°−30°）+푠푖푛50°33=（分）4+2=4+0=4………12方法二：构造对偶式设푚=푠푖푛210°+푐표푠240°+푠푖푛10°cos40°,푛=푐표푠210°+푠푖푛240°+푐표푠10°푠푖푛40°,则……（8分）m+n=2+푠푖푛50°,n−m=푐표푠 20°−푐표푠80°+푠푖푛30°，则1332m=2−+푠푖푛50°−푐표푠 20°+푐표푠80°=，∴푚（分22=4………12)1方法三：构造三角形，令外接圆半径为，则由正弦定理可得2푎푏푐1×，（分）푠푖푛10°=푠푖푛50°=푠푖푛120°=2R=22=1………8则a=푠푖푛10°,푏=cos40°=푠푖푛50°,c=푠푖푛120°,再由余弦定理，3222210°250°−2푠푖푛10°푖푛50°푐표푠120°2120°푐=푎+푏−2푎푏푐표푠퐶=푠푖푛+푠푖푛s=푠푖푛=4……（12分)20.解：（1）记事件A=求恰有一个黑球，则由古典概型公式可得13퐶8퐶78P(퐴)=4=；………（3分）퐶1539（2）X的可能取值为0,1,2,3,4，………（4分）43122퐶82퐶8퐶756퐶8퐶784P(푋=0)=4=，P(푋=1)=4=，P(푋=2)=4=，퐶1539퐶15195퐶15195134퐶8퐶78퐶71P(푋=3)=4=，P(푋=4)=4=，X的分布列如下：………（7分）퐶1539퐶1539（概率对了一个给1分，不超过7分，此处没有约分的不扣分）X01234P2568481391951953939256848136428E(X)=×××××（分）039+1195+2195+339+439=195=15………9（此处没有约分的扣1分）（3）记事件B=取出4个球同色，求全为红球，则由条件概率公式有4퐶71P(퐵)=44=.………（12分）퐶8+퐶73解：（）21.1B1휋在∆BCD中，S∆BCD=BD∙BC∙sin∠DBC=23,且BD=2,∠DBC=，可得BC=4（2分）23D在∆BCD中，由余弦定理有，DC2=DB2+BC2−2DB∙BC∙cos∠DBC=12,∴DC=23……（5分）C휋2휋A（）记DCA=θ,θ∈0，BDC=2θ,DAC=θBCD=−2，2∠((2))，则∠，∠,∠3θ∠ADC=π−2θ,……（6分）记AD=DC=m,BC=a,퐵퐶퐵퐷퐶퐷푎2푚在∆BCD中由正弦定理有∴2휋휋（分）,==,푠푖푛2휃==……7푠푖푛∠BDC푠푖푛∠BCD푠푖푛∠DBC푠푖푛(3−2θ)푠푖푛3퐴퐶퐴퐷23푚在∆ACD中，由正弦定理有=，∴==,……（8分）푠푖푛∠ADC푠푖푛∠ACD푠푖푛2휃푠푖푛휗휋4푠푖푛휃2ퟐ∴푚∙θ23θ=a∙∴a=4sinθ，即有2휋，（分）sin2=sinsin3,푠푖푛2휃==풄풐풔휽……9푠푖푛(3−2θ)ퟐ흅휋휋휋∴풔풊풏(−ퟐ훉)θ∓휃，∴DCA=θ或（分）ퟑ=cos=sin(2)∠=618……12（掉了一个解扣2分）22.解：（1）∵푓(푥)=푥푙푛푥,(푥>0)∴푓'(푥)=푙푛푥+1,1令푓(푥)=，可得푥=，列表如下：……………（1分）'0푒x1110,,+∞(푒)푒(푒)푓'(푥)−0+1푓(푥)↓极小值−↑푒………（2分）111∴푓(푥)的单调递减区间为0,，单调递增区间为,+∞，极小值为，无极大值。(푒)(푒)−푒（“无极大值”掉了的扣1分）……（4分）푒푥−2푥（2）解法1：要证푒푥−2푥>푥∙푥푙푛푥，只需证>푙푛푥（对数靠边走）………（5分）푥2푒푥−2푥(푒푥−푥)∙(푥−2)设푔(푥)=−푙푛푥，则푔(푥)=，易知푒푥≥푥+1>x,令푔(푥)=0，可得푥=2，列表如푥2'푥3'下：……（6分）x(0,2)2(2,+∞)푔'(푥)−0+푔(푥)↓极小值g(2)↑22푒−4푒−(4+4푙푛2)23∴품(푥)푚푖푛=g(2)=−ln2==，由于푒≈7.39>7，푒≈20.09>16,…（7分）444+4푙푛2=4+푙푛16<4+푙푛푒3=7，……（8分）∴푒2−(4+4푙푛2)>0，从而不等式得证。……（9分）푥2푙푛푥+2푥解法2：要证푒푥−2푥>푥∙푥푙푛푥，只需证<1，（指数找朋友）………（5分）푒푥푥2푙푛푥+2푥(푥푙푛푥+1)∙(2−푥)1设ℎ(푥)=，则ℎ(푥)=，又因为（1）中的푓(푥)=푥푙푛푥的最小值即为极小值−，푒푥'푒푥푒∴풙풍풏풙+ퟏ>0,从而列表如下：……（6分）x(0,2)2(2,+∞)ℎ'(푥)+0−ℎ(푥)↑极大值h(2)↓푒2≈7.39>7，푒3≈20.09>16,………（7分）4푙푛2+4푙푛16+4푙푛푒3+43+47从而ℎ(푥)=ℎ(2)==<==<1，从而不等式得证。……（9分）푚푎푥푒2푒2푒2푒2푒2其他的证明方法参照给分。푓(1)≤φ(1)3푙푛3+64푙푛4+122푓(2)≤φ(2)（3）设φ(푥)=−푥+(푎+1)푥−푎，由数形结合可得푓(3)≤φ(3)，解得{푎│≤푎<}{23푓(4)>φ(4)……（12分）