数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号12345678答案ABBADCCD【解析】1．因为，所以的虚部为2，故选A．2．，，所以，故选B．3．展开式的通项公式为，令，得，则的系数为，故选B．4．设等比数列的公比为，由题知，所以.又，故选A．5．易知焦点三角形的面积为1，故，所以，则，故选D．6．据题意，应是的一个变号零点，由于，故，故选C．7．所有对局中，恰有一组对局是不公平对局的情况为：2名外挂玩家都分到了同一组对局，记该事件为事件，则，故选C．图18．如图1，设的外接圆圆心为，半径为，的外接圆圆心为，半径为，记所在平面为，所在平面为，连接，则．在中，，则，平面与球面的交线为圆，该圆就是的外接圆，由正弦定理知；取的中点为，根据垂径定理知，则平面，故为二面角的平面角，即；在中，，由勾股定理得，易知四点共面，在中，，由勾股定理得，如图在四边形中，，知四点共圆，记该圆为圆，则为圆的直径，在中，由正弦定理得，解得，由余弦定理得，解得，在中，，由勾股定理得，即圆的半径为，故交线长为，故选D．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案ABDACACDAD【解析】9．由题知，的周期为，故，所以A正确；，故的最大值为，所以B正确；当时，，显然不单调，故C错误；当时，，故是的一个对称中心，所以D正确，故选ABD．图210．平面，平面，，故A正确；如图2，显然与是异面直线，故B错误；在平面中，，且，则与交于点且，同理与交于点且，即点与点重合，则三条直线有公共点，故C正确；易知，故D错误，故选AC．11．将点的坐标代入圆的方程，得，所以点在圆外，故A正确；整理直线的方程为：，可知直线过定点，将定点代入圆的方程，发现，所以定点在圆内，则直线与圆一定相交，故B错误；当圆心与直线所过定点的连线垂直于直线时，交点弦长最小，此时圆心到直线的距离为，由勾股定理知，故C正确；当圆心到直线的距离为1时，在圆上仅存在三个点到直线的距离为1，即，解得，故D正确，故选ACD．图312．据题意，，解得，故A正确；，这是一个二次函数，若，则，此时单调递增不可能有三个零点，，不妨设的两个零点为，则在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，如图3，已知，则是函数在单调递减区间上的零点，所以，解得，故B错误；因为，所以，故C错误；因为，所以，故D正确，故选AD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案4【解析】13．因为，所以，故14．由题知：故该地区这种疾病患者的年龄位于的概率为.15．在闭区间上一定有最值，，所以关于中心对称，则图416．根据双曲线的光学性质，可以发现双曲线在点处的切线是的角平分线.又，如图4，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以；又因为，于是反射光线所在直线的斜率为，即，解得，在中，由余弦定理得，所以或．四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）据题意，数列为等差数列，则，故，所以，则. …………………………………（4分）（2），则①，②，由①②得，则 …………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）因为，又，所以.又，由勾股定理得，又，所以，故.因为，所以，则为点到平面的距离，故点到平面的距离为2. ……………………………………………（5分）图5（2）在平面内过点作的平行线，则，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系.由勾股定理得：如图5，则，设平面的法向量为，则即取，则设平面的法向量为，则即取，则所以记二面角的大小为，则，故二面角的正弦值为. ………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）在中，因为，所以，则，解得 …………………………………………………………（6分）（2）如图6，设与交于点，连接并延长交于点，由于，知，且点满足，图6则在中，由余弦定理得，又，故，所以 …………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）（1）解：设点，据题意，解得由于点不在一条射线上，故点的轨迹方程为：. ……………………………………………（5分）（2）证明：设线段的中点分别为，设因为点在曲线上，则，因为点在曲线上，所以：同理，故是方程的两个解，由韦达定理知，所以，即点的纵坐标与点的纵坐标相同，故垂直于轴. …………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）据题意只需关注前3次球由谁持球即可，则持球的所有可能情况为甲乙丙甲，甲丙乙甲，． ……………………………………（2分）故一轮游戏甲胜利的概率为，随机变量的可能取值为，故分布列为 …………………………………………（4分）则． ……………………………………………………（6分）（2）设事件表示次传球后，球在甲同学手上，事件表示次传球后，球在乙同学手上，事件表示次传球后，球在丙同学手上，设次传球后，乙持球的概率为．则，由全概率公式知：. …………………………………………………………（9分）所以，构造数列，解得 …………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）设定义域为，，当时，，在定义域上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. …………………………………………………………（5分）（2）已知不等式等价为，即.记，的定义域为，，观察知，故的表达式可以因式分解，当时，在上，，即在上单调递增，，则，解得，故；当时，在上，，即在上单调递减，，则，解得，此时无解；当时，在上单调递增，在上单调递减，，解得，此时无解；综上，的取值范围为…………………………………………………………（12分）