树德中学高2021级高三上期开学考试数学试题（理）时间：120分钟满分：150分命题人：廖游宇审题人：唐颖君一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．2211．已知集合Axx2x0，BaxR,xax0，则AIB（）4A．1,2B．2,1C．2,1D．2,12i2．复数z在复平面内对应的点为2,1，则（）z1A．1iB．1iC．1iD．1irrrrrrr3．已知向量a1,m，b1,0，且abab6，则a（）A．5B．23C．22D．264．部分与整体以某种相似方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小3三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为，则第n个4图中阴影部分的面积为（）图①图②图③图④nnnn133333333A.B.C.D.443462925．已知矩形ABCD中，AB2BC，现向矩形ABCD内随机投掷质点P，则满足APB为锐角的概率是（）4ππ16ππA．B．C．D．4416166．在如图所示的程序框图中，程序运行的结果S为3840，那么判断框中可以填入的关于k的判断条件是（）学科网（北京）股份有限公司A．k5B．k5C．k4D．k47．在2023年成都大运会期间，组委会派遣甲、乙、丙、丁、戍五名志愿者参加A，B，C三个场馆的翻译工作，每人只去1个场馆，每个场馆至少去1人，且甲、乙两人约定去同一个场馆，则不同的派遣方案共有（）A．24种B．36种C．48种D．64种uuuuruuuur8．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1MF20的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（）212A．B．C．D．0,10,0,,1222119．（）2tan202cos103A.2B.C.3D.2210．已知四面体ABCD满足ABCD3，ADBC5，ACBD2，且该四面体ABCD的外接R1球的球半径为R1，四面体的内切球的球半径为R2，则的值是（）R222A．11B．11C．6D．633π23π11．已知函数fxacos2x6sinxcosx2cosx1的图象关于直线x对称．若对任意481mx2xπ222x10,，存在x20,，使fx12成立，则m的取值范围是（）2111A．m1B．mC．mD．m248lnxx12．已知函数fx，gx之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的个数xex为（）学科网（北京）股份有限公司①函数gx在x0处的切线与函数fx在x1处的切线平行；②方程fxgx有两个实数根；③若直线ya与函数gx交于点Ax1,y1，Bx2,y2，与函数fx交于点Bx2,y2，Cx3,y3，则1xxx2．④若fmgn0，则mn的最小值为．132eA．1B．2C．3D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．答案填在答题卷相应横线上．y013．设x，y满足约束条件xy0，则z2xy的最大值为______．xy2fx214．已知函数fx的定义域为0,，则函数y的定义域是______．x23x415．已知抛物线C:y22pxp0的焦点为F，直线l:2xy60与抛物线C交于A，B两点，M是uuuruuur线段AB的中点，过M作y轴的垂线交抛物线C于点N，若NANB0，则点F的坐标为______．2321216．已知面积为的锐角△ABC其内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且，则3tanAtanBsinA边c的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题，共60分．17．某新能源汽车制造公司，为鼓励消费者购买其生产的汽车，约定从今年元月开始，凡购买一辆该品牌汽车，在行驶三年后，公司将给予适当金额的购车补贴．某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者，就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查，得其样本频率分布直方图如图所示．（1）估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的平均数；（2）统计今年以来元月~5月该品牌汽车的市场销售量，得其频数分布表如下：月份元月2月3月4月5月学科网（北京）股份有限公司销售量（万辆）0.50.61.01.41.7预测该品牌汽车在今年6月份的销售量约为多少万辆？$$$附：对于一组样本数据x1,y1，x2,y2，L，xn,yn，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘nxiyinxy估计值分别为$i1，$$．bnaybx22xinxi118．如图，梯形ABCD中，AD4，E为AD中点，且CEAD，CEBC1，将△DEC沿CE翻折π到△PEC，使得PEA．连接PA，PB．3（1）求证：BEPC；uuuruuur2（2）Q为线段PA上一点，若AQAP，若二面角Q-BC-A的平面角的余弦值为时，求实数的值．21n2an119．已知数列an中，a11，a2．且数列是公差为1的等差数列．3an（1）求an的通项公式；（2）设______，Sn为数列bn的前n项和，若对任意nN，总有Sn1恒成立，求实数的取值范围．从下面三个条件中任选一个补充在题中横线处，并解答问题．2a2n1a2①bn；②bn1aa；③bn．nn2nnn1n4注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．x2y2220．已知椭圆C:1ab0的离心率为e，且经过点1,e．P为椭圆C在第一象限内部a2b22分上的一点．（1）若Aa,0，B0,b，求△ABP面积的最大值；学科网（北京）股份有限公司2（2）是否存在点P，使得过点P作圆M:x1y21的两条切线，分别交y轴与D，E两点，且14DE．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由．321．已知fxexax2，fx是fx的导函数，其中aR．（1）讨论函数fx的单调性；（2）设gxfxxex1ax21，ygx与x轴负半轴的交点为点P，ygx在点P处的切线方程为yhx．①求证：对于任意的实数x，都有gxhx；t12e②若关于x的方程gxtt0有两个实数根x，x，且xx，证明：xx1．1212211e（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．2222．直角坐标系xOy中，点P0,1，动圆C:xsiny3sin11aR．（1）求动圆圆心C的轨迹；．（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的极坐标方程为：242，过点P的直线l与曲线M交于A，B两点，且PAPB，求直线l的斜率．2cos2sin2723．已知函数fx2x32x2，gxsin2x．（1）求函数fxgx的最小值；（2）设a，b1,1，求证：2a112b2ab2．树德中学高2021级高三上期开学考试数学试题参考答案（理）一、选择题：1-5DACBA6-10CBABA11-12CC12二、填空题：13．4；14．2,1；15．F,0；16．21917．解：（1）因为直方图的组距为1，则各组数据的频率即为相应小矩形的高，所以平均数的估计值为x1.50.12.50.33.50.34.50.155.50.16.50.053.5万元．（2）记xiii1,2,3,4,5，y10.5，y20.6，y31.0，y41.4，y51.7，由散点图可知，5组样本数据呈线性相关关系．学科网（北京）股份有限公司nn因为，，，2，则x3y1.04xiyi0.51.235.68.518.8xi149162555i1i118.8531.04b$0.32，a$1.040.3230.08，5559所以回归直线方程是$y0.32x0.08．当x6时，$y0.3260.082，预计该品牌汽车在今天6月份的销售量约为2万辆．18．证明：因为CEAD．所以CEAE．CEPE．又PEIAEE，PE，AE平面PAE．所以CE平面PAE．CE平面ABCE．所以平面ABCE平面PAE．在梯形ABCD中，DE=2，所以AE=2．所以在四棱锥P-ABCE中，PE=AE=2．π因为PEA．所以△PAE为正三角形．3取AE中点O．连接PO，OB，OC．易得POAE，OBAE．由面面垂直的性质可得PO平面ABCE．又BCCEOE1，CEAE，CEBC，所以四边形OBCE为正方形，所以BEOC．又OCIPOO．OC、PO平面POC，所以BE平面POC．又PC平面POC，所以BEPC．（2）解，由（1）知OA、OB、OP两两垂直．以O为坐标原点．以OA，OB，OP所在直线建立如图所示的uuuruuur坐标系，则：A1,0,0，B0,1,0，C1,1,0，P0,0,3，由AQtAP得Q1,0,301．uruuuruuuruuururmBQ0则BQ1,1,3，BC1,0,0．设平面QBC的法向量mx,y,z，故uruuurx0mBC0ur，y3，z1，即m0,3,1．r易知平面ABC的一个法向量为n0,0,1urrurrmn12所以cosm,nurr．mn3212333解得或（舍）．所以．333学科网（北京）股份有限公司13a2n2an119．（1）由a11，a2可知1．由题设条件可知1n11n，所以3a1ananan1n1，当n2时，n，ann2an1n1anan1a2n1n2n3212anLa1L1．an1an2a1n1nn143nn122当n1时，a1满足a，故a的通项公式为a．1nnn1nnnn12an411（2）选择①，由（1）可知bn2，n2nn1n2nn1n1n2111111所以Sn2L12232334nn1n1n2112211，所以112．2n1n2n1n2411选择②，由（1）可知bnn1anan12，nn1n2nn1n1n2111111所以Sn2L12232334nn1n1n2112211．2n1