武汉市2024届部分学校高三年级九月调研考试数学试卷参考答案及评分标准选择题：题号123456789101112答案BCDBACCBABDBCADACD填空题：221111n13.−4014.(xy+1)+(−2)=515.4−2ln216.（1）；（2）[4(−−)]2492解答题：17.（10分）解：（1）由题意，2(S2nnn)a=(1+)−，2(S3nnn)++a(111=)+−.两式相减得：2(3)(2)1ananannn++11=+−+−，即(1)(2)1nana+=++nn+1.aann+11此时=+，nnnn++++21(1)(2)aa即nn+1=+−11.nnnn++++2112aa++11a+1有nn+1=，所以数列{}n是常数列.…………5分nn++21n+1（2）取n=1，有2aa11=−3(1)，解得a1=3.a+1a+1由（1）可得：n==12，所以an=+21.n++111n11111==()−.anna+1(2n+1)(2n+3)22n+12n+31111111111n所以T=(−+−+...+−)=(−)=.…………10分n235572123232369n+n+n+n+18.（12分）解：（1）由正弦定理得：2sinABCBcos=−2sinsin.2sinABABBcos=2sin(+)−sin，2sinABABABBcos=2sincos+2cossin−sin，即2cosABBsin=sin.1又sinB0，故cosA=.2所以A=.…………6分311（2）ABC面积S=bcsinA=(a+b+c)r.22代入a=7和，整理得：bc=2(b+c)+14.①由余弦定理：a2=b2+c2−2bccosA，得：b22+c−bc=49.2bc−142即(b+c)−3bc=49，代入①，得：()−=3bc49.2解得：bc=40.1所以S==bcsinA103.…………12分219.（12分）解：1（1）由题意，第一组的频率/组距为：−−−−=−mm0.040.0250.010.025.10样本平均数的估计值为：10[(0.025)55650.04750.025850.0195]74.510−++++=+mmm0.0.050.025−样本中位数的估计值为：701076.25+=.0.04所以74.51+=0076m.25，解得：m=0.0175.…………6分（2）总的成绩优秀人数为：20010(0.0250.01)70+=.得到列联表为：测试成绩性别合计优秀不优秀男生4565110女生256590合计7013020022200(45652565)−2600χ==3.753.841.1109070130693所以根据小概率值=0.05的独立性检验，认为男生和女生的优秀率没有差异.…………12分20.（12分）解：（1）如图，连接ACB,D交于点O，取OD中点F，连接EFC,,FAF.由ABC=B，ADC=D，所以BD垂直平分AC.由ABO=45，且AB=2，有AO===BOCO1，且DO=AD22−AO=2.BFPE所以==2，有EF∥PB，FDED因为PB平面PAB，EF平面，所以EF∥平面.又点O平分线段BF和AC，所以四边形ABCF是平行四边形，有CF∥AB.因为AB平面，CF平面，所以CF∥平面.由EFCF=F，有平面CEF∥平面.又CE平面CEF，所以直线CE∥平面.…………6分（2）连接PO，在POB和POD中，由cosPOB=−cosPOD，22222222有PO+BO−PB=−PO+DO−PD，即PO+1−5=−PO+4−8.22POBOPODO24POPO解得：PO=2，满足PO222+=BOPB，所以PO⊥BD.又PA=PC，所以PO⊥AC，由ACBD=O，所以PO⊥平面ABCD，满足PO,,CODO两两垂直.以O为原点，OC,,ODOP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.42有P(0,0,2)，B(0,−1,0)，C(1,0,0)，E(0,,).33BP=(0,1,2)，CP=−(1,0,2).n=BP0yz+=20设平面PBC的法向量n=(,,)xyz，由，得，取n=−(2,2,1).n=CP0−xz+20=|−2−82+|||nCE429又CE=−(1,42,)，故所求角的正弦值为|cosn,CE|==33=.3329|n||CE|9299429所以直线CE与平面PBC所成角的正弦值为.…………12分2921.（12分）解：（1）由题意，||2A4Ba==，得：a=2.ab22−3离心率e==，得：b=1.a22x2所以椭圆E的标准方程为+=y1.…………3分4（2）设Cx(,y)CC，D(x,y)DD.11点A(2−,0)，直线AT的方程为yx=(+2)，即xt=y+2−(2)2.22t+2(t2)+与椭圆方程联立得：(45)2(2)0ttyty22++−+=，解得：y=.Ctt2++45点B(2,0)，直线BT的方程为xt=y−2+(2)2.−−2(t2)与椭圆方程联立得：(45)2(2)0ttyty22−++−=，解得：y=.Dtt2−+451S||||sinCTDTCTD||||CTDT三角形面积比CDT==2SATBT1||||ABT||||sinATBTATB2yy−−11CD22==−−(21)(21)yyCD11−−002211又因为S=41=，ABT22(t22−3)所以S=(2y−1)(2y−1)=(4tt+8−1)(−4+8−1)=.CDTCDt2+4t+5t2−4t+5(t2+5)2−16t2(t22−3)由题意，=1，整理得tt42−6+8=0，解得：t2=2或t2=4.(tt2+−5)216217又由点T在椭圆内部，故t2=2，即t=2.…………12分22.（12分）解：（1）mn==0时，f()x=x2ex.f'(x)=(x2+2x)exx=x(x+2)e.令fx'()=0，得x=−2或x=0.当x−2或x0时，fx'()0，fx()单调递增；当−20x时，fx'()0，单调递减.综上所述：fx()在(−,−2)和(0,+)上单调递增，在(−2,0)单调递减.…………5分（2）f'(x)=[x2+(m+2)x+m+n]ex.令，得x2+(m+2)x+m+n=0.由题意，xx12,是关于x的方程的两个实根.所以x12+x=−(m+2)，x12x=+mn.22由x11+(m+2)x+m+n=0，有x11=−(m+2)x−m−n.2xx11所以f(x1)=(x1+mx1+n)e=(−2x1−m)e，将m=−x12−x−2代入，x1x2得f(x1)=(x2−x1+2)e，同理可得：f(x2)=(x1−x2+2)e.fxfx()()(−xx−+−−+2)(exxex22)x1(xxe−−2)x2−x1+−+(xx2)所以21=1221=−2121.ex2−ex1ex2−ex1ex2−x1−1(t2e−)t(+2+)t令xxt−t=(0)，上式为−.21et−1(2)(2)tet−++tte(1)t+设gtt()(0)=−，此时gt()2=−+.et−1et−12ttgt'()=−ete−−21.(1e)t−2记h(te)2te1=−−2tt，ht'(e)e2t(=1−)−tt.记(t)e1t=−−t，t0时，'(te)10=−t，()t单调递增，所以(t)(0=)0.所以ht'()0，ht()单调递增，h(t)=h(0)0.所以gt'()0，gt()在(0,)+单调递减.2222又txxxxxxmn=−=+−=−+()()444212112.此时tababababab222222=++−+++=(2)4(2)433244−−+++.22222b+28164tababbabb=−++−+=3(24)343()−−−++33338164822−++=−−+bbb(1)44.3333b+22当且仅当a−=0且b−=10，即ab==1时，t取到最大值4，即t的最大值为2.3fx(f)x()−所以21的最小值为g(2)=−4.…………12分eexx21−e2−1