银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数 C.实部不为零的虚数 D.纯虚数3.已知某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20 B.32 C. D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（）A. B. C. D.5.若，，则的取值范围是（    ）A. B.C D.6.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A. B. C. D.8.若数列满足，，则（）A. B. C. D.9.如图，圆柱的轴截面为矩形，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10.已知是等差数列前项和，且，则（）A.数列为递增数列 B.C.的最大值为 D.11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（）A. B. C. D.12.若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数满足约束条件则的最大值为________．14.已知偶函数满足，则__________．15.在中，已知，，，则的值为________.16.将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线．（1）画出直线的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥的体积．18.已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求的通项公式和前项和.公众号：全元高考19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块，，，有关部门划定了以D为圆心，为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为边上的点E，出口为边上的点F，施工要求与古树保护区边界相切，右侧的四边形将作为绿地保护生态区.（，长度精确到，面积精确到）（1）若，求的长；（2）当入口E在上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?20.已知向量.设函数.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）将图象向左平移个单位长度得到图象，若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围，并求的值.21.已知函数.（1）若，使得成立，求实数取值范围；公众号：全元高考（2）证明：对任意的为自然对数的底数.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若点是上的一点，求点到直线的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若的最小值为，且实数，满足，求证：.