银川一中2024届高三年级第四次月考数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由分式不等式的解法，解出集合，根据集合的交集运算，可得答案.【详解】由不等式，则等价于，解得，所以，由，则.故选：D.2.复平面上，以原点为起点，平行于虚轴的非零向量所对应的复数一定是（）A.正数 B.负数 C.实部不为零的虚数 D.纯虚数【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标写出对应复数，然后判断即可.【详解】由题意可设，所以对应复数为，此复数为纯虚数，故选：D.3.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.20 B.32 C. D.【答案】D公众号：全元高考【解析】【分析】先根据几何体的三视图得出该几何体的直观图，再由几何体的特征得出几何体的体积.【详解】解：如图，根据几何体的三视图可以得出该几何体是底面为矩形的四棱锥，该几何体的高为，且，所以该几何体的体积为，故选：D.4.“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量､画圆和方形图案的工具.敦煌壁画就有伏羲女娲手执规矩的记载（如图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角满足，则这块四边形木板周长的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出图形，利用余弦定理结合基本不等式可求得这个矩形周长的最大值.【详解】由题图（2）得，圆形木板的直径为.设截得的四边形木板为，设，，，，，，如下图所示.由且可得，在中，由正弦定理得，解得.公众号：全元高考在中，由余弦定理，得，所以，，即，可得，当且仅当时等号成立.在中，，由余弦定理可得，即，即，当且仅当时等号成立，因此，这块四边形木板周长的最大值为.故选：D.5.若，，则的取值范围是（    ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用不等式的性质求解.【详解】∵，∴，，又，∴，故选：B.6.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程求得或，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】由向量，，可得，若，可得，解得或，所以是的必要不充分条件.故选：B.7.“莱洛三角形”是机械学家莱洛研究发现的一种曲边三角形，它在很多特殊领域发挥了超常的贡献值．“莱洛三角形”是分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形（如图所示）．现以边长为4的正三角形作一个“莱洛三角形”，则此“莱洛三角形”的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出正三角形的面积和弓形的面积，进而求出“莱洛三角形”的面积.【详解】正三角形的面积为，圆弧的长度为，故一个弓形的面积为，故“莱洛三角形”的面积为.故选：A8.若数列满足，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，由递推公式可得数列是等比数列，即可得到数列的通项公式，从而得到结果.【详解】因为，，所以，又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以，即，所以.故选：B9.如图，圆柱的轴截面为矩形，点M，N分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出异面直线与所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值.【详解】连接，设，则是的中点，设是的中点，连接，则，则是异面直线与所成角或其补角.由于，，所以，由于，而是圆柱底面圆的直径，则，所以，则，，而，在三角形中，由余弦定理得.故选：D10.已知是等差数列的前项和，且，则（）A.数列为递增数列 B.C.的最大值为 D.【答案】B【解析】【分析】由且，所以，所以公差，所以时，时，逐项分析判断即可得解.【详解】由且，所以，故B正确；所以公差，数列为递减数列，A错误；由，，，所以，，时，，的最大值为，故C错误；，故D错误.故选：B11.银川一中的小组合作学习模式中，每位参与的同学都是受益者，以下这道题就是小组里最关心你成长的那位同桌给你准备的：中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知平面，四边形为正方形，，，若鳖臑的外接球的体积为，则阳马的外接球的表面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因条件满足“墙角”模型，故可构建长方体模型求解外接球半径，利用公式即得.【详解】如图，因平面，,故可以构造长方体,易得：长方体的外接球即鳖臑的外接球，设球的半径为，，由，且,解得:,又因四边形为正方形，阳马的外接球即以为三条两两垂直的棱组成的正四棱柱的外接球，设其半径为，则有,解得：故阳马的外接球的表面积为故选：C.12.若曲线与曲线有公切线，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】设公切线与函数切于点，设公切线与函数切于点，然后利用导数的几何意义表示出切线方程，则可得，消去，得，再构造函数，然后利用导数可求得结果.【详解】设公切线与函数切于点，由，得，所以公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，设公切线与函数切于点，由，得，则公切线的斜率为，所以公切线方程为，化简得，所以，消去，得，由，得，令，则，所以在上递减，所以，所以由题意得，即实数取值范围是，故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查导数的几何意义，考查导数的计算，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是利用导数的几何意义表示出公切线方程，考查计算能力，属于较难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数满足约束条件则的最大值为________．【答案】4【解析】【分析】依题意可画出可行域，并根据目标函数的几何意义求出其最大值为.【详解】根据题意，画出可行域如下图中阴影部分所示：易知目标函数可化为，若要求目标函数的最大值，即求出在轴上的最大截距即可，易知当（图中虚线所示）平移到过点时，截距最大，显然，则，所以的最大值为.故答案为：414.已知偶函数满足，则__________．【答案】0【解析】【分析】由偶函数的定义和赋值法，以及找出函数的周期，然后计算即可．【详解】令，则，又，所以，于是化为：，所以的周期，所以．故答案为：0.15.在中，已知，，，则的值为________.【答案】【解析】【分析】根据数量积的定义结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可得：，即.故答案为：.16.将函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上的所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________.【答案】【解析】【分析】根据函数图像平移变换，写出函数的解析式，再由函数在区间上单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可【详解】将函数的图象向左平移个单位长度得到的图象,再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数图象，函数在区间上单调递增，所以，即，解得，①又，所以，解得，②由①②可得，故答案:.三、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：17.如图，在棱长为的正方体中，，分别是，的中点，过，，三点的平面与正方体的下底面相交于直线．（1）画出直线的位置，保留作图痕迹，不需要说明理由；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）延长与的延长线交于，连接即为所求；（2）根据结合三棱锥的体积公式求解出结果.【小问1详解】如图所示直线即为所求：依据如下：延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置．，平面，平面，平面平面，又由题意显然有平面平面，平面平面，则即为直线的位置．【小问2详解】因为，所以.18.已知数列是等比数列，满足，，数列满足，，设，且是等差数列.（1）求数列和通项公式；（2）求的通项公式和前项和.【答案】18.，19.，【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列定义求解；（2）先写出数列的通项公式，再分组求和即可求解.【小问1详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，即，设等差数列公差为，因为，，所以，即.【小问2详解】因为，所以,由（1）可得，设前项和为，.19.为践行两会精神，关注民生问题，某市积极优化市民居住环境，进行污水排放管道建设.如图是该市的一矩形区域地块，，，有关部门划定了以D为圆心，为半径的四分之一圆的地块为古树保护区.若排污管道的入口为边上的点E，出口为边上的点F，施工要求与古树保护区边界相切，右侧的四边形将作为绿地保护生态区.（，长度精确到，面积精确到）（1）若，求的长；（2）当入口E在上什么位置时，生态区的面积最大?最大是多少?【答案】（1）（2），最大面积为【解析】【分析】（1）根据得，然后利用锐角三角函数求出即可；（2）设，结合锐角三角函数定义可表示，然后表示出面积，结合二倍角公式化简，再利用基本不等式求解.【小问1详解】设切点为H，连结DH，如图.，，，；；.【小问2详解】设，则，，.，当且仅当，即时，等号成立，，时，生态区即梯形的面积最大，最大面积为.20.已知向量.设函数.（1）求函数的解析式及其单调递增区间；（2）将图象向左平移个单位长度得到图象，若方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围，并求的值.【答案】（1），（2）实数的取值范围是，【解析】【分析】（1）利用向量数量积的坐标公式和三角恒等变换的公式化简即可;（2）利用函数的平移求出的解析式，然后利用三角函数的图像和性质求解即可.【小问1详解】由题意可知.由，可得，函数的单调增区间为.【小问2详解】，，得，在区间上单调递增，同理可求得在区间上单调递减，且的图象关于直线对称，方程，即，当时，方程有两个不同的解，由单调性知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，且故当时，方程有两个不同的解，实数的取值范围是.又的图象关于直线对称，，即.21.已知函数.（1）若，使得成立，求实数的取值范围；（2）证明：对任意的为自然对数的底数.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）变形不等式，分离参数并构造函数，再求出函数的最大值即得.（2）由（1）的信息可得，令，再利用不等式性质、对数运算、数列求和推理即得.【小问1详解】函数，则不等式，令，求导得，当时，，函数递增，当时，，函数递减，因此当时，，依题意，，所以实数的取值范围是.【小问2详解】由（1）知，当时，，即当时，，而当时，，因此，于是，即有，所以.【点睛】结论点睛：函数的定义区间为，(1)若，总有成立，则；(2)若，总有成立，则；(3)若，使得成立，则；(4)若，使得成立，则.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一道作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若点是上的一点，求点到直线的距离的最小值．【答案】（1）的普通方程；直线的直角坐标方程（2）【解析】【分析】（1）利用消参法求的普通方程，根据极坐标可知直线表示过坐标原点，倾斜角为的直线，进而可得斜率和直线方程；（2）设，利用点到直线的距离结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为曲线的参数方程为（为参数），两式平方相减得，即的普通方程；又因为直线的极坐标方程为，表示过坐标原点，倾斜角为的直线，可得直线的斜率，所以直线的直角坐标方程，即.【小问2详解】由题意可设，设点到直线：距离为d，则，当且仅当，即时，等号成立，所以