2023-2024学年上学期期中考数学科试题参考答案及评分标准一、选择题题号12345678答案CAADBACD二、多项选择题题号9101112答案BDBDACBD三、填空题13.114.(一∝，,1]15.(1,，+∝)16.4四、解答题17.（本题满分12分）解：（1）由已知得切点为(1,0)，且f,(x)=3x2一a， 1分(f(1)=0(1一a+b=HYPERLINK\lbookmark30lf(1)=0l3一a=HYPERLINK\lbookmark40（2）由（1）知f(x)=x3一3x+2f,(x)=3x2一HYPERLINK\lbookmark53：〈,，即〈，解得a=3,b=2 5分,令f,(x)=3x2一3=0得x=一1,x=1.........................7分：f(一1)=4,f(1)=0,f(2)=4则f(x)在区间[−1,2]上的最大值与最小值之和为4..........................10分18.（本题满分12分）选择条件①:依题意，f(x)相邻两对称轴之间距离为，则周期为π,从而ω=2，..........2分f(x)=1sin(2x+φ)，g(x)=1sin(2x+φ−π)，226 2π又g(x)的图像关于原点对称，则g(0)=0，由|φ|<知φ=，................5分从而f(x)=1sin(2x+π)，f(π)=1........................7分2662选择条件②:f(x)=sin(x）cos(x）+cos2(x）−(ω>0)即有：f(x)=sinωx+1cosωx=1sin(ωx+π)4426又因为f(x)相邻两对称轴之间距离为，则周期为π,从而ω=2，从而f(x)=1sin(2x+π)，f(π)=1........................7分2662（2）f(x)=1sin(2x+π)，令2kπ-π≤2x+π≤2kπ+π,k∈z，26262解得x∈kπ−,kπ+,k∈z，从而f(x)在[0,π]上的单调递增区间为0,,,π.........................12分19.（本题满分12分）.解：．解：（11）∵0＜α＜，sinα＝，∴cosα＝＝，∴tanα＝＝，（2）∵sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣∴cos（2）＝（cos2α﹣sin2α）＝（﹣﹣）＝﹣，（3）∵0＜α＜，0＜β＜，∴0＜α+β＜π，∵cos（α+β）＝﹣，∴sin（α+β）＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝......................12分20解：(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sinB＝，又BC＝2，sinB＝，∴BD＝，cosB＝．在△BCD中，由余弦定理，得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cosB＝22＋（）2－2×2××＝.∴CD＝．........................6分DE(2)∵CD＝AD＝=，sinA2sinA在△BCD中，由正弦定理，得=，2sin2A=又∠BDC＝2A，得62sinAsinB,解得cosA＝，所以A=．........................12分21.本题满分12分）解：解（1）g(x)=x−alnx的定义域为(0,+∞)，g′(x)=1−=....................2分(i)若a≤0，则g′(x)≥0，所以g(x)在(0,+∞)单调递增.........................3分(ii)若a>0，当x∈(0,a)时，g′(x)<0；当x∈(a,+∞)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增........................5分（2）因为f(x)存在两个极值点且a>2.f′(x)=−，所以f(x)的两个极值点x1,x2满足x2−ax+1=0，所以x1x2=1，不妨设x11........................7分则f(x1)−f(x2)=−1−1+alnx1−lnx2121212xxxxxx−−=−2+a 12lnx−lnx12x−x=−2+a 2−2lnx1 −x22x,........................8分要证1)，则h′(x)=−<0，........................10分知h(x)在(1,+∞)单调递减，又h(1)=0当x∈(1,+∞)时，h(x)<0,故−x22，+2lnx<0即f(x1)−f(x2)12x−x(a−2)(x1−x2)........................12分22.（本题满分12分）（1）令f(x)=0，即ex+mx=0：x=0不是方程的根，∴−m=........................1分令g(x)=,则g′(x)=........................2分当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当00时，函数有1个零点；当m<−e时，函数亦两个零点；当−e1恒成立等价于不等式x−1−alnx≥0对x>1恒成立........................8分令m(x)=x−1−alnx,(x>1)，有m′(x)=当a≤1时，因为x>1，所以x−a>0，所以即a≤1时，不等式恒成立； x−axm′(x)>0，函数m(x)为增函数，所以m(x)≥m(1)=0，当a>1时，因为11恒成立。........................12分