机密★启用前（新教材卷）华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学本试题卷共4页，共22题.满分150，考试时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，考生务必将自己的学校､班级､姓名､准考证号填写在答题卷指定位置，认真核对与准考证号条形码上的信息是否一致，并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置.2.选择题的作答：选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效.3.非选择题的作答；用黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答题区域内.答在试题卷上或答题卷指定区域外无效.4.考试结束，监考人员将答题卷收回，考生自己保管好试题卷，评讲时带来.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A.B.C.D.2.计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数可以表示成二进制数，即，其中，当时，.若记中1的个数为，则满足且的的个数为（）A.35B.28C.70D.563.已知双曲线的焦距为6，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A.2B.C.D.4.已知向量，若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（）A.B.C.3D.5.若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A.B.C.D.6.已知曲线的图象是中心对称图形，其在点处的切线与直线相互垂直，则点到曲线的对称中心的距离为（）A.B.C.D.7.已知，则（）A.B.C.D.8.已知函数则对于任意正数，下列说法一定正确的是（）A.B.C.D.二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知集合，则下列说法正确的是（）A.B.或C.D.10.已知在正方体中，点是线段的中点，则下列说法错误的是（）A.直线与直线所成的角为B.直线与直线异面C.点平面D.直线平面11.已知圆过点，点在线段上，过点作圆的两条切线，切点分别为，以为直径作圆，则下列说法正确的是（）A.圆的方程为，B.四边形面积的最小值为4C.圆的面积的最小值为D.圆的面积的最大值为12.已知椭圆的右焦点为在椭圆上但不在坐标轴上，若，且，则椭圆的离心率的值可以是（）A.B.C.D.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某公司定期对流水线上的产品进行质量检测，以此来判定产品是否合格可用，已知某批产品的质量指标服从正态分布，其中的产品为“可用产品”，则在这批产品中任取1件，抽到“可用产品”的概率约为__________.参考数据：若，则.14.已知某圆台的上､下底面积分别为，母线长为5，则该圆台的体积为__________.15.已知函数的图象在上有且仅有3条对称轴，则实数的取值范围为__________.16.已知数列满足：当为奇数时，，其中，且，则当取得最小值时，__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知在中，角所对的边分别为，且.（1）求的值；（2）已知点在线段上，且，求的值.18.（12分）近年来，中学生的体质健康情况成了网络上的一个热门话题，各地教育部门也采取了相关的措施，旨在提升中学生的体质健康，其中一项便是增加中学生一天中的体育活动时间，某地区中学生的日均体育活动时间均落在区间内，为了了解该地区中学生的日均体育活动时间，研究人员随机抽取了若干名中学生进行调查，所得数据统计如下图所示.（1）求a的值以及该地区中学生日均体育活动时间的平均数；（2）现按比例进行分层抽样，从日均体育活动时间在和的中学生中抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，求至多有1人体育活动时间超过的概率；（3）以频率估计概率，若在该地区所有中学生中随机抽取4人，记日均体育活动时间在的人数为X，求X的分布列以及数学期望.19.（12分）如图所示，在四棱锥中，，点为线段的中点，且.（1）求证：；（2）已知点为线段的中点，点在线段上（不含端点位置），若直线与平面所成的角的正切值为求的值.20.（12分）已知数列的前项和为，其中.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和为.21.（12分）已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，直线过点且与抛物线交于两点.（1）若点，且的面积为，求直线的斜率；（2）若点在第一象限，直线过点，比较与的大小关系.并说明理由.22.（12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知，若，当时，恒成立，求的最大值.华大新高考联盟2024届高三11月教学质量测评数学参考答案和评分标准一､选择题1.【答案】B【命题意图】本题考查复数的四则运算､复数的概念，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，，故，故选B.2.【答案】D【命题意图】本题考查排列组合､数学情境问题，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】因为，故在中只需有3个1即可，故所求个数为，故选D.3.【答案】B【命题意图】本题考查双曲线的方程与性质，考查数学运算､直观想象的核心素养.【解析】依题意，，则，故的渐近线方程为，故所求距离为，故选B.4.【答案】A【命题意图】本题考查平面向量的坐标运算､平面向量的数量积，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，，解得，故选A.5.【答案】B【命题意图】本题考查复合函数､函数的单调性，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】令，则原函数化为，其在上单调递增，故在上单调递增，则，故选B.6.【答案】D【命题意图】本题考查导数的几何意义､两直线的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】易知直线的斜率为9，设切点，而，故，解得或，故切点坐标为或，故点到曲线的对称中心的距离为，故选D.7.【答案】A【命题意图】本题考查三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】依题意，，故，则①，而②，联立①②，解得，故选.8.【答案】C【命题意图】本题考查分段函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象､数据分析的核心素养.【解析】依题意，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；易知，取，可知，取，可知，取，可知，故A､B错误；当时，，故，当时，，故，当时，，故；综上，恒成立，故C正确，错误，故选C.二､多选题9.【答案】AC【命题意图】本题考查不等式的解法､集合的表示､集合的运算，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】依题意，，故或，故选AC.10.【答案】ABC【命题意图】本题考查空间线面的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】因为，故，而，故，故A错误；直线与直线均在平面上，故B错误；平面就是平面，故点平面，故C错误；因为平面平面，且直线平面，故直线平面，故D正确；故选.11.【答案】BD【命题意图】本题考查圆的方程､直线与圆的位置关系，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，圆圆心在直线上，设，则，解得，圆，故A错误；四边形面积，而，故，故B正确；结合图象的对称性可知，当在线段的中点时，圆的面积最小，为，故C错误；当在线段的两个端点时，圆的面积最大，为，故D正确；故选BD.12.【答案】CD【命题意图】本题考查椭圆的方程､椭圆的性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析1】设直线，其中，联立解得，不妨设，则，，而，故，整理得，故，观察可知，故选CD.【解析2】依题意，可得，又有，故，即，；又有，即圆与椭圆有公共点且公共点不在坐标轴上，故，即，故，故选CD.【解析3】依题意，，故分别是线段的中点，故；又有，故，则；因为，故，即，得，故选CD.三､填空题13.【答案】0.84【命题意图】本题考查正态分布及其应用，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】依题意，，故.14.【答案】【命题意图】本题考查空间几何体的表面积与体积，考查数学运算､直观想象､数学建模的核心素养.【解析】易知该圆台的上､下底面的半径分别为2，6，故圆台的高为3，则圆台的体积.15.【答案】【命题意图】本题考查三角函数的图象与性质，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】依题意，，令，解得，则，解得，故实数的取值范围为.16.【答案】5【命题意图】本题考查数列的性质，考查数学运算､逻辑推理､数据分析的核心素养.【解析】因为，故当时，，故，当时，，则，故；而当为奇数时，，即，而，故，则.令，得；而当时，，当时，，即奇数项中最小；而，所以数列的最小项为，故当取得最小值时，.四､解答题17.【命题意图】本题考查正弦定理､余弦定理､三角恒等变换，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）依题意，，而，由余弦定理，即故，故，代入中，得，而，故；（2）不妨设，则，在中，由余弦定理得，，由正弦定理得，，故，.18.【命题意图】本题考查频率分布直方图､样本的数字特征､离散型随机变量的分布列以及数学期望，考查数学运算､逻辑推理､数学建模的核心素养.【解析】（1）依题意，，解得；所求平均数为；（2）从日均体育活动时间在中抽取8人，日均体育活动时间在中抽取4人，故所求概率；（3）依题意，，故，，；01234故.19.【命题意图】本题考查空间线面的位置关系､向量法求空间角，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】（1）连接，如图所示.因为，故，因为，故四边形为矩形，不妨设；且点为线段的中点，，所以，故；故，即；又，故平面；而平面，故；（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则不妨设，则，所以，设平面的法向量为，则即取设，则，而，所以，设直线与平面所成的角为，则，化简得，解得舍去）；故.20.【命题意图】本题考查数列的基本运算､错位相减法，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）当时，，两式相减可得；而当时，，得；，故，解得，则，故；（2）依题意，，故，，两式相减可得，即，故.21.【命题意图】本题考查抛物线的方程､直线与抛物线的综合性问题，考查数学运算､逻辑推理､直观想象的核心素养.【解析】设；（1）设直线，联立得，；则；故，解得，故直线的斜率为；（2）设直线的方程为，联立直线与抛物线的方程，消去得，故；由（1）可知，，同理可得，故，显然，故，当且仅当时等号成立.22.【命题立意】本题考查利用导数研究函数的性质，考查数学运算､逻辑推理的核心素养.【解析】（1）依题意，，若，则在上单调递增；若，则，令，解得，其中若，则，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增；若，则，故当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减；综上所述，当时，在上单调递增；当时，故在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）依题意，，即，即，即恒成立，令，有恒成立，得恒成立，所以恒成立令，有，（注：）（i）当时，即时，易知方程有一根大于1，一根小于1，所以在上单调递增，故有，不符；（ii）当时，有，所以，当且仅当时等号成立，从而在上单调递减，故当时，恒有，符合.由可知，正实数的取值范围为，因此，的最大值为2.