2023-2024学年度高三年级第一次调研测试数学试题总分：150分时间：120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．“”是“函数是奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．己知长方形ABCD的边，E为BC的中点，则（）A．B．14C．D．184．谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形是一种分形，它的构造方法如下：取一个实心等边三角形（如图1），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，挖去中间小三角形（如图2），对剩下的三个小三角形继续以上操作（如图3），按照这样的方法得到的三角形就是谢尔宾斯基三角形．如果图1三角形的边长为2，则图4被挖去的三角形面积之和是（）图1图2图3图4A．B．C．D．5．某个弹簧振子做简谐运动，已知在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：）与位移y（单位：）之间满足函数关系：，则这个简谐运动的振幅是（）A．B．C．D．6．函数与直线相切，则实数a的值为（）A．1B．2C．eD．7．球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值为（）A．B．C．D．8．己知函数及其导函数的定义域均为，且满足，，，若，则（）A．B．C．88D．90二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．实践育人是落实立德树人根本任务的重要环节，是培养担当民族复兴大任时代新人的有效途径．某研究性学习小组为了解某校2000名学生参加2023年暑期社会实践的情况，通过分层抽样的方法抽取一个容量为N的样本，对学生某一天社会实践的时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图如图所示．己知样本中的人数为20人，则以下说法正确的是（）A．B．C．估计该样本数据的平均数为74D．估计全校社会实践时间在60分钟以上的学生约为180人10．若，曲线C的方程为，则（）A．当时，曲线C表示圆B．当时，曲线C表示两条直线C．当时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆D．当时，曲线C表示焦点在y轴上的双曲线11．设是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的有（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么12．设函数，对于任意给定的实数K，定义函数，则下列结论正确的有（）A．函数的零点有3个B．，使C．若，则D．若存在最大值，则三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的值为___________．14．在我国长江中下游地区，每年的6月中下旬到7月中旬为梅雨季节，这段时间阴雨天气较多．这个地区的一个市级监测资料表明，该市一天为阴雨天气的概率是0.8，连续两天为阴雨天气的概率是0.72，己知某天为阴雨天气，则随后一天也为阴雨天气的概率是___________．15．定义在上的函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为___________．16．椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线与椭圆C交于另一点B，若，则椭圆C的离心率为___________．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，．（1）若的面积，求a；（2）若D为的角平分线与边BC的交点，，求a，18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，，将沿BD折起到的位置，使．（1）求证：平面平面ABD；（2）求直线AB与平面PAD所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）己知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）求证：当时，．20．（本小题满分12分）已知等差数列的前n项和为，．数列的前n项和为，，．（1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的最大项．21．（本小题满分12分）某数学兴趣小组设计了一个开盲盒游戏：在编号为1到4号的四个箱子中随机放入奖品，每个箱子中放入的奖品个数满足，每个箱子中所放奖品的个数相互独立．游戏规定：当箱子中奖品的个数超过3个时，可以从该箱中取走一个奖品，否则从该箱中不取奖品．每个参与游戏的同学依次从1到4号箱子中取奖品，4个箱子都取完后该同学结束游戏．甲、乙两人依次参与该游戏．（1）求甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率；（2）设甲游戏结束时取走的奖品个数为X，求X的概率分布与数学期望；（3）设乙游戏结束时取走的奖品个数为Y，求Y的数学期望．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）若，函数有两个极小值点，求实数a的取值范围；（2）若，求证：．2023-2024学年度高三年级第一次调研测试数学试题答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。1．B2．C3．A4．D5．C6．B7．C8．B二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。9．ABC10．AB11．BC12．BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．14．0.915．16．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1），2分因为，所以，则，所以．4分解法二：的高，2分所以，则．4分（2）因为AD是的角平分线，所以，设，则．在中，因为，所以，6分由内角和定理，，所以．8分在中，由正弦定理得，则．10分18．（1）证明：如图，取BD中点O，连接OA，OP．因为四边形ABCD是边长为2的菱形，，所以、是边长为2的正三角形，因为O是BD中点，所以，2分因为，所以，同理可得，因为，所以，则，由二面角定义可得平面平面ABD．5分或：又因为，平面ABD，，所以平面ABD，因为，所以平面平面ABD．5分（2）以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，7分设平面PAD的一个法向量为，由得，令得，则，10分设直线AB与平面PAD所成的角为，则．所以直线AB与平面PAD所成角的正弦值为．12分注：第二问用等积法、综合法等方法解答同样给分．19．（1）因为，所以．1分①当时，在单调递减；3分②当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增．综上，当时，在单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增．6分（2）当时，，要证明，只要证，即证，8分设，则，令得，列表得a10极小值所以，即，所以.12分20．（1）设等差数列的首项为，公差为d，11分则，所以，所以．3分因为，当时，，则，所以；4分当时，，所以，则构成首项为1，公比为2的等比数列，所以．（2）因为，所以，7分当时，，因为在时单调递减，所以，所以，当时，，即，所以，11分所以数列的最大项为．12分注：第二问解方程组得，结合得最大项为同样给分．21．（1）因为每个箱子中放入的奖品个数满足，所以，则，所以的概率分布为：12345P2分设事件A为甲能从1号箱子中取走一个奖品，则，所以甲能从1号箱子中取走一个奖品的概率为4分（2），因为甲能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以，所以，，X的概率分布为：X01234P8分所以X的数学期望为．或．9分（3）乙能从箱子中取到奖品必须箱子中最初有5个奖品，即乙能从每个箱子中取走一个奖品的概率为，所以，所以Y的数学期望为．12分22．（1）因为所以，令得，则在上单调递减，在上单调递增，所以．①当，即时，在上单调递增，因为，所以使得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以仅有一个极小值点，不合题意．2分②当，即时，．设，则，所以在上单调递减，则．当时，，所以，因为，所以，则；当时，，所以，则，所以．因为在上单调递减，在上单调递增，所以，使，所以在上单调递增，上单调递减，上单调递增．4分因为有两个极小值点，所以为的极小值点，且时，为的极小值点，所以，即，则，所以，此时，在上单调递减，上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以，在及处取得极小值，实数a的取值范围是．6分（2）因为，所以．则，即，因为，则，8分令，则，令，则，所以在单调递增，因为，所以使得，所以在单调递减，单调递增，10分又，所以，即．12分