全南中学2023-2024学年第一学期高中学段期中考试三年级数学一、单选题（每题5分，共40分）1.满足条件的所有集合的个数是（）A.32 B.31 C.16 D.15【答案】B【解析】【分析】根据已知所给的集合关系将问题转化求集合真子集即可.【详解】由集合满足条件，所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，则上述集合关系式变成：，则此时集合为集合的真子集，问题转化为求集合的真子集的个数即：，故满足题意的集合有31个.故选：B.2.已知为虚数单位，若复数模为该复数的实部的倍，则A.0 B.-4 C.1或-1 D.1【答案】A【解析】【分析】将复数分母实数化得到模和实部，建立方程可得解.【详解】复数.模为：.根据题意得：，解得.故选：A.3.已知p：x2+x-2>0，q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先求出二次不等式的解集，根据q是p的充分不必要条件，得到对应集合的包含关系，从而得到答案.【详解】由得或，设,若q是p的充分不必要条件，则所以a≥1．故选：D．4.设，且，则（）A. B.10 C.20 D.100【答案】A【解析】【分析】根据指数式与对数的互化和对数的换底公式，求得，，进而结合对数的运算公式，即可求解.【详解】由，可得，，由换底公式得，，所以，又因为，可得．故选：A.5.已知点为的外心，的外接圆的半径为1，则与的夹角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得：，两边同时平方利用数量积运算和已知条件，即可得出结果；【详解】，，，又，，，而，故.故选：A6.已知球O的半径为2，四棱锥的顶点均在球O的球面上，当该四棱锥的体积最大时，其高为（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，确定四棱锥体积最大时为正四棱锥，设出底面外接圆半径，求出体积函数式，再利用导数求解作答.【详解】令球O的内接四棱锥为，四边形外接圆半径为，对角线的夹角为，则四边形的面积，当且仅当，即四边形为正方形时取等号，由球的结构特征知，顶点P为直线与球面O的交点，并且球心O在线段上，四棱锥的高最大，如图，，高，因此四棱锥的最大体积关系式为：，令，则，求导得，当时，，当时，，因此函数在上单调递增，在上单调递减，当时，，此时，所以当该四棱锥的体积最大时，其高为.故选：D7.托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知和托勒密定理可得，即.再由三角形的面积公式可求得选项.【详解】设，由托勒密定理知，，所以.又因为，，所以四边形的面积为.故选：B.【点睛】本题考查数学文化，数学定理的应用，以及解三角形，属于中档题.8.已知函数，其中，若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题设恰有两个零点转化为与的图象恰有两个不同的交点，利用导数研究的单调性，且必过，画出，的大致图象，进而利用导数的几何意义求，的相切时的切线方程并确定此时的斜率，结合函数图象分析要使，有两个不同交点，斜率a的变化范围即可.【详解】由恰有两个零点，即恰有两个根，也就是恰有两个根，进而有函数与的图象恰有两个不同的交点，由，得，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；由知：必过；函数，的大致图象，如下图示：设与相切于，切线斜率为，则切线方程为，把代入可得：，∴化简得，解得或.当时，切线斜率大于2，又，∴，此时切点坐标为，∴的斜率为1，即时与相切.由函数增长速率，易知：当x无限趋近于时，无限趋近于0且x小于0.∴若函数恰有两个零点，则实数a的取值范围为.故选：B.【点睛】关键点点睛：由函数有两个零点转化为两个函数有两个不同交点问题，进而应用导数研究函数性质并画出草图，根据导数的几何意义，求直线与曲线相切时切线斜率，结合图象判断有两不同交点情况下直线的斜率变化范围.二、多选题（每题5分，共20分）9.函数的部分图象如图所示，则（）A.B.图象的一条对称轴方程是C.图象的对称中心是，D.函数是偶函数【答案】BD【解析】【分析】首先根据题意得到，再根据三角函数的性质和平移变换依次判断选项即可得到答案.【详解】由函数的图象知：，所以；即，解得，所以，因为，所以，，即，，因为，所以，.对选项A，因为，故A错误.对选项B，，故B正确．对选项C，令，k∈Z，解得，，所以的对称中心是，，故C错误．对选项D，设，则的定义域为R，，所以为偶函数，故D正确.故选：BD10.已知，为定义在上的函数，且对任意的x，y满足：，且，则下面说法正确的是（）A.B.C.为奇函数D.若，则3是的一个周期【答案】ACD【解析】【分析】利用赋值法逐项判断即可.【详解】因为对任意的x，y满足：，所以对于，令，则，故正确；令，，则.又，则，故错误；令，则，所以为奇函数，故正确；令，，则，由于，所以，令，则，令，则，两式相加得：，即：，所以，故，所以是的一个周期，所以正确；故选：ACD.11.已知矩形，，将沿对角线进行翻折，得到三棱锥，则在翻折的过程中有下列结论：（）A.四棱锥的体积最大值为 B.四棱锥的外接球体积不变C.异面直线与所成角的最大值为 D.与平面所成角的最大值为【答案】ABD【解析】【分析】根据翻折过程，结合线面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A，当平面平面时，点到的距离为即为棱锥高，此时体积最大，故A正确；对B，由，故四棱锥的外接球的直径为，四棱锥外接球体积不变，故B正确；对C，假设直线与所成角的最大值为，此时，而，所以平面，则，而斜边矛盾，故C错误；对D，当平面平面时，与平面所成角为最大，由为矩形，，此时，故D正确.故选：ABD【点睛】本题考查了平面翻折过程中线面的动态变化，考查了空间想象能力和逻辑推理能力，有一定的计算量，属于中档题.本题的关键点有：（1）翻折过程中的线面的动态变化，在变化中找到确定的量；（2）把空间线面关系的性质，用到变化过程中进一步确定变化的量.12.对于给定数列，如果存在实数，使得对任意成立，我们称数列是“线性数列”，数列满足，则（）A.等差数列是“线性数列” B.等比数列是“线性数列”C.若是等差数列，则是“线性数列” D.若是等比数列，则是“线性数列”【答案】ABD【解析】【分析】对A,B根据“线性数列”的定义进行判断，C，找特例，代入即可判断；D，结合定义，设出等比数列，代入求的，再结合线性数列的定义，看是否存在实数即可.【详解】对A，数列为等差数列，则，即，满足“线性数列”的定义，A正确；对B，数列为等比数列，则，即，满足“线性数列”的定义，B正确；对C，是等差数列，设，则，若是“线性数列”，则，则应有，故不是“线性数列”，C错误；对D，等比数列，设首项为，公比为，若时，，则，满足“线性数列”的定义；若时，由，得，，累加的，则，经验证当时，满足，则，若是“线性数列”，则存在实数，使得成立，则，，，则，则，则是“线性数列”，D正确.故选：ABD三、填空题（共20分）13.已知等差数列满足，，则的前项的和为__________【答案】78【解析】【分析】利用等差数列性质可计算得，，代入等差数列前项和公式即可求出结果.【详解】由等差数列性质可知，解得；由，可得；则数列的前项的和为.故答案为：14.已知倾斜角为的直线的斜率等于双曲线的离心率，则_________.【答案】【解析】【分析】求出双曲线的离心率，根据斜率与倾斜角的关系即可得解.【详解】双曲线的离心率，所以.故答案为：【点睛】此题考查求双曲线的离心率，根据直线的斜率求倾斜角，涉及同角三角函数的基本关系解决三角函数求值的问题.15.四个棱长为1的正方体拼成如图所示长方体，为上表面异于B的8个点，结果有____________个不同的值．【答案】1【解析】【分析】可根据图象得出，然后将转化为，最后根据棱长为及即可得出结果.【详解】由图象可知，，则，因为平面，平面，所以，所以，则，即的不同值的个数为，故答案为：116.已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】首先排除的情况，再通过同构思想得到函数，再分类讨论即可.【详解】若时，时，，舍去.若时，令，，，则在上单调递增，且①若，即时，则不等式(式恒成立；②若，即时，而，令，.当，，则在上单调递增，当，，则在上单调递减，，的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题的关键是通过合理变形，再利用函数的单调性得到，再对合理分类讨论即可.四、解答题（共70分）17.在中，是，B，所对应的分边别为，，，且满足.（1）求；（2）若，的面积为，求的周长.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理化边为角，结合正弦的二倍角公式变形可得；（2）由面积公式求得，再由余弦定理求出，从而可得周长．【小问1详解】因为，所以由正弦定理得，因为，所以，则，因为，所以，又因为，所以；【小问2详解】因为，所以，又由余弦定理得，，所以，则，所以的周长为：．18.设数列的前项和为，已知，.（1）求数列的通项公式；（2）记，，证明：，.【答案】(1)；(2)证明见详解.【解析】【分析】（1）利用与的关系，即可容易求得；（2）由（1）中所得即可求得，利用等比数列前项和公式，以及适度的放缩，即可证明.【详解】（1）因为，则，解得，故当时，，故可得，则，则数列为首项为3公比为的等比数列，故，解得.（2）由（1）中所求可得，当为偶数时，；当为奇数时，，故.即证.【点睛】本题考查利用关系求数列的通项公式，涉及等比数列前项和的求解，以及数列的放缩，属综合中档题.19.如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为等边三角形且垂直于底面，分别为的中点．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，先证明平面，再由线线垂直证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，取中点，连接，则,因为平面平面，且平面平面，平面所以平面,因为平面，所以,又因为F为CD的中点，所以，又，平面PGB，所以平面，平面，所以，，为的中点，所以，又，平面，平面，所以平面.【小问2详解】不妨设正方形的边长为2，以点为坐标原点，为轴，垂直于的直线为轴，为轴建立空间坐标系，则,，设平面与平面的法向量分别为，夹角为，则不妨设,所以，，所以.20.为积极发展生态低碳农业，某农业大学实验基地进行绿色农业种植实验，已知该基地引进了营养价值较高A品种黄豆，统计了近几年的产量及市场售价情况（市场售价与产量相互独立），得到了如图①②所示的频率分布直方图（每组数据用该组区间的中点值为代表）：（1）若不考虑其他因素，设A品种黄豆明年的收入为元，求的分布列；；（2）已知A品种黄豆人工种植及管理费用和其他黄豆相当，不考虑其他因素，若明年A品种黄豆的收入不低于520元，则后年可大面积推广种植A品种黄豆．请根据统计学知识预测后年能否大面积推广种植A品种黄豆，并说明理由．【答案】（1）分布列见解析（2）能，理由见解析【解析】【分析】（1）结合频率分布直方图求得产量与市场售价对应的概率，再由题意得到的可能取值，进而求得对应的值的概率，从而得解；（2）利用数学期望公式预测明年A品种黄豆收入的均值，从而得解.【小问1详解】依题意可知产量为190千克的概率为，产量为210千克的概率为，市场售价是2.5元/千克的概率为，售价是2.7元/千克的概率为，所以的所有可能取值为475，513，525，567，所以，，则的分布列为：4755135255670.160.240.240.36【小问2详解】由（1）可得预计明年A品种黄豆收入的均值为因为，所以预测后年能大面积推广种植A品种黄豆.21.已知点和直线，动点