2023-2024学年上学期东北师大附中数学学科试卷高三年级第三次摸底考试第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.AxZ∣x22x301.已知集合，则集合A的子集个数为（）A.3B.4C.8D.162.设1iz21i，则z（）2A.B.1C.2D.223.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产12物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0,1均分为三段，去掉中间的区间段,，记3312为第一次操作；再将剩下的两个区间0,,,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二33次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间9长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（参考数据：lg20.3010,lg30.4771）（）10A.6B.8C.10D.124.命题“xR,x22x30”的否定是（）A.xR,x22x30B.xR,x22x30C.xR,x22x30D.xR,x22x305.底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为（）A.26B.28C.30D.32第1页/共5页学科网（北京）股份有限公司π12π6.已知sinx，则cos2x（）6337227A.B.C.D.99997.已知函数fx及其导数fx的定义域均为R，fx在R上单调递增，f1x为奇函数，若2a3，4b5，3c4，则（）A.fafbfcB.fbfafcfbfcfafcfbfaC.D.8.若对任意实数x0,y0，不等式xxya(xy)恒成立，则实数a的最小值为（）2121A.B.21C.21D.22二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知kZ，则函数fxxk2x2x的图象可能是（）A.B.C.D.2ππ10.已知函数f(x)cosx(0)在π,上单调，且f(x)的图象关于点,0对称，则323（）A.f(x)的最小正周期为4π210B.ff994πC.将f(x)的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数3第2页/共5页学科网（北京）股份有限公司D.函数y5f(x)4在[0,]上有且仅有一个零点11.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M,N分别为棱B1C1,CD上的动点（包含端点），则下列说法正确的是（）A.当M为棱B1C1的中点时，则在棱CD上存在点N使得MNACB.当M,N分别为棱B1C1,CD的中点时，则在正方体中存在棱与平面A1MN平行C.当M,N分别为棱B1C1,CD的中点时，过A1,M,N三点作正方体的截面，则截面为五边形D.三棱锥D1A1MN的体积为定值x12.已知曲线fxe在点Px1,fx1处的切线和曲线gxlnx在点Qx2,gx2处的切线互相平行，则下列命题正确的有（）A.x1x2有最大值是1B.fx1gx2有最小值是1221x1x21C.x1x2有最小值是D.若x10，则有最大值为eex1x2e第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知P2,1是终边上的一点，则sin2_____________.14.在ABC中，AB2,AC4，P是ABC的外心，则APBC等于___________.15.已知两个等差数列2，6，10，…，210及2，8，14，…，212，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和等于___________.16.正三棱锥PABC的四个顶点都在同一个球面上，且底面边长是3，侧棱PA与底面ABC所成的角为，二面角P-AB-C的平面角为.当该球的表面积最小时，tan____________.四、解答题：本题共6小题，第17小题10分，其余小题每题12分，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第3页/共5页学科网（北京）股份有限公司17.已知等差数列an的公差为2，前n项和为Sn，且S1,S2,S4成等比数列.（1）求数列an的通项公式；an（2）求数列n2的前n项和Tn.2cosBCcosBcosC18.在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知.bcabac（1）求A；（2）D为BC边上一点，DABA，且BD3DC，求cosC.19.如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，D1DD1C5，AB2BC2.（1）求证：ADD1C；DP（2）若点P的在线段BD上，且二面角PCDB的大小为，求1的值.14PB20.甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满61局时停止．设甲在每局中获胜的概率为p(p)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停25止的概率为．9（1）求p的值；（2）设表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望E．x2y221.已知双曲线E:1a0,b0的左、右焦点分别为F15,0,F25,0，渐近线方程为a2b21yx.2（1）求E的方程；（2）直线l与E的左、右两支分别交于M,N两点（M,N在x轴的同侧），当F1M//F2N时，求四边形第4页/共5页学科网（北京）股份有限公司F1F2NM面积的最小值.22.已知函数fxasinxsinaxa0.（1）当a1,x0时，证明fx2x；（2）当a2时，讨论fx的单调性；（3）设x0，证明eax2eaxfx.第5页/共5页学科网（北京）股份有限公司