计算题专项练(四)(满分:46分 时间:45分钟)1.(7分)(2021山东高三一模)趣味运动“充气碰碰球”如图所示。用完全封闭的PVC薄膜充气膨胀成型,人钻入洞中,进行碰撞游戏。充气之后碰碰球内气体体积为0.8m3,压强为1.5×105Pa。碰撞时气体最大压缩量是0.08m3,不考虑压缩时气体的温度变化。(1)求压缩量最大时,球内气体的压强。(结果保留3位有效数字)(2)为保障游戏安全,球内气体压强不能超过1.75×105Pa,那么,在早晨17℃环境下充完气的碰碰球,球内气体压强为1.5×105Pa,若升温引起的球内容积变化可忽略,请通过计算判断是否可以安全地在中午37℃的环境下进行碰撞游戏。2.(9分)(2021安徽宿州高三三模)如图所示,在竖直平面内建立xOy直角坐标系。一质量为m、电荷量为q的质子,自原点O以初速度v0沿x轴正方向运动。若在以O为圆心的圆形区域内分布着垂直xOy平面的匀强磁场,一段时间后质子沿与y轴夹角为30°方向经P点射入第二象限。若撤去磁场,在第一象限内加一与x轴正方向夹角为150°的匀强电场(电场、磁场均未画出),该质子恰能经过y轴上的P点。已知点P到O的距离为l,求:(1)磁场的磁感强度B的大小;(2)匀强电场的电场强度E的大小。3.(14分)(2021浙江宁波高三二模)如图所示,水平面上固定两条光滑金属轨道,两导轨PQ、PR关于x轴对称放置且与x轴夹角均为θ=37°,在x轴上P点接触良好;长为d=0.8m的金属杆CD置于y轴上时,杆两端点CD恰好与导轨和y轴的两交点重合。整个装置处于竖直向下的匀强磁场中,磁感应强度大小为B=0.5T。现给杆的中点施加外力,使杆以速度v0=4m/s沿x轴正方向匀速运动,运动过程中杆始终与y轴平行。已知导轨和杆电阻与长度的比值均为λ=0.5Ω/m,杆与导轨始终接触良好,接触电阻不计,sin37°=0.6。(提示:可以用F-x图像下的“面积”代表力F所做的功)求:(1)杆在O位置时,杆上通过的电流大小;(2)杆从O位置运动到P位置过程中,杆两端点CD间的电势差UCD与杆所在处的横坐标x的关系式;(3)杆从O位置运动到P位置,杆产生的焦耳热Q。4.(16分)(2021广东高三三模)一轻质弹簧竖直放置,将一质量为12m的小物块轻放于弹簧顶端,弹簧最大压缩量为l。如图所示,水平地面上有一固定挡板,将此弹簧一端固定在挡板上且水平放置,一质量为m的小物块P紧靠弹簧的另一端但不拴接;在水平地面右侧固定有一半径R=l的竖直光滑半圆轨道,轨道最低点与地面相切。将另一质量也为m的小物块Q放置在距半圆轨道最低点l2=4l处。现向左推P压缩弹簧,使弹簧形变量为l,此时P与小物块Q的距离为l1=2l。撤去外力,小物块P被弹簧弹开,然后与小物块Q正碰,碰后瞬间粘在一起。小物块P、Q均可看作质点,且与水平地面间的动摩擦因数相同,重力加速度为g。(1)求弹簧最大压缩量为l时,弹簧具有的弹性势能。(2)若两物块P、Q与水平地面间的动摩擦因数μ0=19,求两个小物块刚滑上半圆轨道时对轨道的压力大小。(3)若两物块P、Q与地面间的动摩擦因数μ可以改变,要求两个小物块在半圆轨道上运动时不脱离轨道,求动摩擦因数μ的取值范围。参考答案计算题专项练(四)1.答案(1)1.67×105Pa (2)不能解析(1)碰撞游戏时,气体从初始到压缩量最大的过程中,经历等温变化,由玻意耳定律得p1V1=p2V2其中p1=1.5×105Pa,V1=0.8m3,V2=(0.8-0.08)m3=0.72m3代入数据解得p2=1.67×105Pa。(2)从早晨充好气,到中午碰撞游戏前,气体经历等容变化,由查理定律有p1T2=p3T3其中T2=(17+273)K=290K,T3=(37+273)K=310K中午碰撞游戏时,气体从初始状态到压缩量最大的过程中,气体经历等温变化,由玻意耳定律有p3V1=p4V2联立并代入数据解得p4=1.78×105Pa>1.75×105Pa,所以不能安全地在中午37℃的环境下进行碰撞游戏。2.答案(1)3mv0ql(2)4mv023ql解析(1)质子在磁场中在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,设其轨迹半径为rqv0B=mv02r由题意知,粒子在磁场中的轨迹如图甲实线所示,其圆心C在y轴上,由图中几何关系得l=3r甲联立得B=3mv0ql。(2)去掉磁场,在静电力的作用下,粒子的轨迹如图乙所示乙在x轴正方向上-Eq·sin60°=ma1粒子先向右匀减速到0,然后向左匀加速,设匀减速的时间为t10-v0=a1t1在y轴正方向上Eq·cos60°=ma2设粒子运动的时间为t2,有l=12a2t22由运动的对称性可知t2=2t1联立得E=4mv023ql。3.答案(1)1.5A (2)UCD=1+98x(V) (3)0.06J解析(1)杆在O位置时,产生的感应电动势为E=Bdv0回路电流为I=ER其中回路总电阻为R=d1+1sinθλ=83dλ联立解得I=3Bv08λ=1.5A。(2)杆移动至x位置时,等效电路如图所示导轨电阻R1=212dtanθ-x1cosθλ=5223d-xλ杆接入回路部分长度为d'=212dtanθ-xtanθ=3223d-x其阻值为r1=d'·λ=3223d-xλ杆接入回路部分产生的电动势为E1=Bd'v0杆接入回路的电势差为U1=R1R1+r1E1=58Bd-32xv0杆未接入回路的电势差为U2=B(d-d')v0=B·32x·v0联立可得CD间的电势差UCD=U1+U2=58Bdv0+916Bxv0=1+98x(V)。(3)由题意得,杆在滑动时,回路电流I1=E1R1+r1结合(2)中结论,代入数据可得I1=1.5A,且始终保持不变,由于杆匀速运动,受到的安培力为F=BI1d'=35-98x(N)F-x图线与x轴所围面积表示克服安培力所做的功,即回路产生的焦耳热Q=WF=0.16J因此,杆产生的焦耳热Qr1=r1R1+r1Q=38Q=0.06J。4.答案(1)12mgl (2)12mg (3)49≤μ<23或μ≤19解析(1)由题意可知当弹簧压缩量为l时,弹性势能Ep=12mgl。(2)物块P被弹簧弹开到与Q相碰之前瞬间有Ep-μ0mgl1=12mv12碰撞过程中动量守恒,有mv1=(m+m)v2碰撞结束后到刚滑上圆弧轨道有-μ0×2mgl2=12×2mv32-12×2mv22在半圆轨道最低点满足FN-2mg=2mv32R联立解得FN=12mg由牛顿第三定律可知,两个小物块刚滑上半圆轨道时对轨道的压力大小为12mg。(3)如果不脱离轨道有两种可能,一是上滑的最大高度不超过半径R,再一个是通过圆弧最高点。由题目可知当弹簧压缩量为l时,弹性势能Ep=12mgl,物块P被弹簧弹开到与Q相碰之前有Ep-μmgl1=12mv42碰撞过程中动量守恒,有mv4=(m+m)v5碰撞结束后到刚滑上圆弧轨道有-μ×2mgl2=12×2mv62-12×2mv52能滑上圆弧要求v6>0不超过圆心等高处临界有12×2mv62=2mg·R联立可得49≤μ<23如果能够通过圆弧最高点,滑到最高点有-2mg×2R=12×2mv72-12×2mv62在最高点恰好由重力提供向心力2mg=2mv72R联立解得μ=19要通过最高点,需要满足μ≤19综上所述,两物块不脱离圆弧轨道,动摩擦因数μ的取值范围为49≤μ<23或μ≤19。