专题02追及与相遇问题一、有关匀变速直线运动的基本公式：①速度公式：；（此公式也可以用来求加速度或者时间）②位移公式：；（注意：当时，）③速度-位移公式：；（公式可以变形为：，从而用于求解加速度）二、匀变速直线运动的常用推论：①中间时刻瞬时速度公式：；②位移中点瞬时速度公式：；③两个相邻相等时间间隔内的位移差：。（该推论可以用来判断物体是否做匀变速直线运动）在解决追及问题和相遇问题时，首先要对运动过程进行分析，分别抽象出追及问题或相遇问题中的研究对象是匀速直线运动、匀加速直线运动还是匀减速直线运动，例如追及问题中的追及者是匀加速直线运动，被追及者是匀速直线运动。其次根据题意，画出运动示意图，找出它们的临界条件和位移关系，列出方程求解即可。一、追及问题追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间速度相等时两者间距离有一个最大值。第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）：（1）当两者速度相等时有最大距离。（2）若两者位移相等时，则追上。二、相遇问题（1）同向运动的两物体追上即相遇。（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。三、解决追及和相遇问题的一个条件、两个关系1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最多”、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。四、解决追及和相遇问题的常用方法：1.临界法：寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大间距；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小间距（速度相等前，两物体未相遇）。2.图像法：①用x-t图像求解时，分别作出两个物体的x-t图线，如果两个物体的x-t图线相交，则说明两物体相遇。②用v-t图像求解时，注意比较v-t图线与坐标轴所围图形的面积之差的绝对值与初始间距的大小关系。3.函数法：由匀变速直线运动的位移公式可列出方程，利用函数法求解。4.转换参考系法：一般情况下，选择地面为参考系，但在一些特殊问题中，可转换参考系，寻找两物体间的相对运动关系。在追及问题中，常把被追物体作为参考系。典例1：（2021·河北·高考真题）如图，一滑雪道由和两段滑道组成，其中段倾角为，段水平，段和段由一小段光滑圆弧连接，一个质量为的背包在滑道顶端A处由静止滑下，若后质量为的滑雪者从顶端以的初速度、的加速度匀加速追赶，恰好在坡底光滑圆弧的水平处追上背包并立即将其拎起，背包与滑道的动摩擦因数为，重力加速度取，，，忽略空气阻力及拎包过程中滑雪者与背包的重心变化，求：（1）滑道段的长度；（2）滑雪者拎起背包时这一瞬间的速度。典例2：（2022·四川·盐亭中学模拟）龙门中学禁止学生骑电动自行车上、放学，一学生违规驾驶电动自行车在平直公路上行驶，速度为v1=36km/h。突然发现前方26m处静止停放着一辆交通事故车，马上紧急刹车，并以2m/s²的恒定加速度减速行驶，分情况讨论：（1）如果不考虑反应时间，通过计算说明，该违规驾驶电动自行车学生是否会出现安全问题？（2）如果考虑到该名学生看到交通事故时的反应时间为0.2s，通过计算说明，该违规驾驶电动自行车学生是否会出现安全问题？（3）交通事故车发现后方26m处的学生，马上以速度v2=2m/s匀速驾驶离开，两车均不考虑反应时间，求两车相距最近的距离。典例3：（2022·福建南平·三模）某足球场长、宽。在某中学举办的一次足球比赛中，攻方前锋在中线处将静止的足球沿边线向前踢出，如图所示，足球获得的初速度并在地面上沿边线做匀减速直线运动，加速度大小为。足球质量为。（1）求运动员踢球过程对足球做的功和足球停下时到底线的距离；（2）足球开始做匀减速直线运动的同时，该队员沿边线向前追赶足球。追赶过程中该队员先做初速度为零的匀加速直线运动，速度达到后做匀速直线运动。若足球停下时该队员刚好追上足球，求该队员加速阶段的加速度大小。典例4：（2022·广东·华南师大附中模拟）如图甲所示，A车原来临时停在一水平路面上，B车在后面匀速向A车靠近，A车司机发现后启动A车，以A车司机发现B车为计时起点（t=0），A、B两车的v-t图像如图乙所示。已知B车在第1s内与A车的距离缩短了x1=12m。（1）求B车运动的速度vB和A车的加速度a的大小。（2）若A、B两车不会相撞，则A车司机发现B车时（t=0）两车的距离s0应满足什么条件？1．（2022·山西晋中·二模）我国技术和应用居世界前列，无人驾驶汽车是利用先进的5G技术制造的汽车。在不少大城市已经使用无人驾驶公交车。无人驾驶汽车上配有主动刹车系统，当车速超过30km/h时，汽车主动刹车系统会启动预判：车载电脑通过雷达采集数据在内进行分析预判，若预判汽车以原速度行驶后可能会发生事故，汽车会立即主动刹车。现有一无人驾驶汽车正以的速度匀速行驶，在它的正前方相距处有一大货车正以的速度匀速行驶。若取重力加速度，问：（1）预判结束时，两车之间的距离。（2）若预判结束时，汽车立即开始以的加速度刹车，同时大货车开始减速行驶，且刹车时大货车所受阻力与车重的比值可k=0.32，则要使两车不相撞，求汽车加速度的取值范围。（计算出的数据请保留3位有效数字）2．（2022·江苏·模拟）如图所示，质量均为m完全相同的两个弹性环A，B用不可伸长的、长为L的轻绳连接，分别套在光滑水平细杆OM和足够长光滑竖直细杆ON上，杆OM与杆ON在O点用一小段圆弧平滑相连，A环通过O点时速率不变。现将轻绳拉至水平位置伸直，B环位于O点，并同时由静止释放两环。（1）若B环下降高度h（）时，B环加速度恰好为零，求此时绳中拉力大小；（2）求A环从开始运动到O点过程中，轻绳对A环拉力所做的功；（3）求A环和B环第一次碰撞前瞬间A、B两环速度的大小。3．（2022·宁夏六盘山高级中学模拟）如图1所示，OB为接力赛跑道，AB为长L=20m的接力区，两名运动员未在接力区内完成交接棒视为犯规。某次训练中，甲匀速跑至接力区前x0=15m处时，向乙发出起跑口令。乙听到口令从A处开始起跑，当加速到与甲速度相等时恰好被甲追上，完成交接棒。甲乙v-t图像如图2所示，忽略口令传播与乙的反应时间，求：（1）接棒前，乙的加速时间t和加速度a的大小；（2）通过计算推断两人交接棒过程是否犯规。4．（2022·内蒙古·包钢一中一模）如图所示，逃犯在平直公路上到边境线的距离L=2200m处抢得货车后，驱车由静止开始沿公路向边境匀加速逃窜，武警接到群众举报，乘坐停在路旁的警车（警车停在逃犯抢劫货车处后方x0=183m的位置），在逃犯驱车逃窜t0=16s后，警车由静止开始匀加速追赶货车。已知警车与货车的加速度大小分别为a1=6m/s2、a2=5m/s2，所能达到的最大速度分别为vm1=42m/s、vm2=30m/s，两车的速度达到最大后均做匀速直线运动。（1）求两车的最大距离xm；（2）试通过计算判断警车能否在境内追上货车。5．（2022·陕西西安·一模）4100米接力比赛是极具技巧性和观赏性的比赛，运动员必须在20m的接力区内完成交接棒，接力区在中心线前后各10m，如图所示。某比赛小组中第三棒运动员甲匀速运动的最大速度为8m/s，第4棒的运动员乙最大速度为10m/s，运动员的起跑可视为匀加速直线运动，加速度大小为5m/s2，为取得最佳比赛成绩，求：（1）甲运动员在距乙多远处时，乙开始起跑；（2）乙运动员接棒后至到达终点运动的时间。6．（2022·湖南·长郡中学模拟）某动车组列车总长L=300m，由静止出发后做加速度大小为a=0.5m/s2的匀加速直线运动，最大速度为vm=90m/s。列车出发时，在车头前方x1=8700m处有一信号灯（信号灯宽度可忽略）。当列车尾部通过信号灯时，司机接到通知：在信号灯前方x2=2490m处有一失去控制的工程车，其运动方向与列车相同，速度大小为v=30m/s。司机从接到通知到开始刹车历时t=1.5s，求：（1）求列车由静止匀加速到最大速度所通过的位移的大小？（2）求列车从出发到尾部通过信号灯需要多长时间？（3）若列车为避免与工程车相碰，则刹车加速度大小至少为多少？7．（2022·安徽·模拟）具有我国自主知识产权的“歼10”飞机的横空出世，说明了我国航空事业的飞速发展，而航空事业的发展又离不开风洞试验，其简化模型如图a所示。在光滑的水平轨道上停放相距x0=8m的甲、乙两车，其中乙车是风力驱动车。弹射装置使甲车获得v0=30m/s的瞬时速度，向乙车运动的同时，乙车的风洞开始工作，将风吹向固定在甲车上的挡风板，从而使乙车获得了速度，测绘装置得到了甲、乙两车的v﹣t图象如图b所示，设两车始终未相撞。求：（1）甲、乙两车的加速度大小之比；（2）两车相距最近时的距离。8．（2021·河北·一模）国庆期间小明同学乘坐K5212次客运列车从石家庄出发到北京观看升旗仪式，某段时间该列车匀速行驶，其车轮在轨道间的接缝处会产生周期性的撞击，小明用手机测得从第1次到第13次撞击声之间的时间间隔为10.0s。在相邻的平行车道上有一列货车共有45节，每节货车车厢的长度为15m，当小明经过货车车尾时，货车恰好从静止开始以恒定加速度沿列车行进方向运动，小明在此后的20.0s内，看到恰好有30节货车车厢被他连续超过。已知每根铁轨的长度为25m，货车车厢间距忽略不计。求：（1）列车运行的速度大小和货车运行的加速度大小；（2）小明最多可以追上几节货车车厢。9．（2021·重庆市第三十七中学校模拟）如图所示，甲、乙、丙三车沿一条直线公路上不同车道同向运动。当甲车刚从收费站开出时（此时t=0），乙车距收费站的距离x1=70m，丙车距收费站的距离x2=60m，甲车的速度v0=0，乙车的速度v1=8m/s，丙车的速度v2=12m/s，此后，甲车做加速度a0=3m/s2的匀加速直线运动，乙车做匀速运动，丙车做加速度a2=2m/s2的匀减速直线运动，求：（1）甲车追上丙车的时间；（2）丙车能否追上乙车，通过计算说明理由；（3）若某段时间甲乙丙行驶在同一单行直公路上，甲在最前，丙在最后，甲乙丙速度分别为、、，三车彼此时间的距离为5m。乙车司机发现甲车开始以1m/s2的加速度匀减速时，立即刹车匀减速运动，丙车司机也立即刹车匀减速运动，若三车都停下来时均未发生撞车事故，丙车的加速度至少要多大？（结果保留两位有效数字）10．（2021·陕西咸阳·一模）某校对学生进行安全教育，讲演者利用摩托车与小轿车遥控模型演示追及场面，让两车在同一直线轨道上同向匀速行驶，“摩托车”在“小轿车”的后面，两车相距时，因前方事故，两车同时开始刹车，刹车后“摩托车”的速度-时间图像如图所示，“小轿车”的速度与时间的关系为（的单位为，t的单位为s），求：(1)从两车刹车开始到“摩托车”撞上“小轿车”的时间。(2)为避免“摩托车”撞上“小轿车”，两车的安全距离至少是多少。