专题14二项分布例1．已知随机变量，那么随机变量的均值 A． B． C．2 D．【解析】解：随机变量，．故选：．例2．设随机变量满足，则函数无零点的概率是 A． B． C． D．【解析】解：因为函数无零点，所以△，所以，所以．故选：．例3．我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，，2，3，，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，3，，那么 A． B． C． D．【解析】解：，，3，，，，2，3，，可得．，，3，，．那么．设．．．时，．．故选：．例4．已知随机变量，满足，若，则，分别是 A．6和2.4 B．2和2.4 C．2和5.6 D．6和5.6【解析】解：随机变量，满足，，，，，．故选：．例5．设随机变量，满足：，，若，则 A．4 B．5 C．6 D．7【解析】解：随机变量，满足：，，，，解得，，，．故选：．例6．已知，并且，则方差 A． B． C． D．【解析】解：，，又，．故选：．例7．设为随机变量，，若随机变量的数学期望，则等于 A． B． C． D．【解析】解：随机变量为随机变量，，其期望，，．故选：．例8．已知随机变量服从二项分布．若，，则 A． B． C． D．【解析】解：由随机变量服从二项分布．又，，所以，解得：，故选：．例9．某电子元件生产厂家新引进一条产品质量检测线，现对检测线进行上线的检测试验：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是 A． B． C． D．【解析】解：从装有5个正品和1个次品的同批次电子元件的盒子中随机抽取出3个，再将电子元件放回．取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品的概率重复6次这样的试验，那么“取出的3个电子元件中有2个正品，1个次品”的结果恰好发生3次的概率是：．故选：．例10．我国的研发在世界处于领先地位，到2020年5月已开通基站超过20万个．某科技公司为基站使用的某种装置生产电子元件，该装置由元件和元件按如图方式连接而成．已知元件至少有一个正常工作，且元件正常工作，则该装置正常工作．据统计，元件和元件正常工作超过10000小时的概率分别为和．（Ⅰ）求该装置正常工作超过10000小时的概率；（Ⅱ）某城市基站建设需购进1200台该装置，估计该批装置能正常工作超过10000小时的件数．【解析】解：（Ⅰ）元件至少有一个正常工作超过10000小时的概率，则该装置正常工作超过10000小时的概率为．（Ⅱ）设1200台该装置能正常工作超过10000小时的有台，则服从二项分布，这1200台装置能正常工作超过10000小时的约有：台．例11．设有3个投球手，其中一人命中率为，剩下的两人水平相当且命中率均为，，每位投球手均独立投球一次，记投球命中的总次数为随机变量为．（1）当时，求数学期望及方差；（2）当时，将的数学期望用表示．【解析】解：（1）每位投球手均独立投球一次，当时，每次试验事件发生的概率相等，，由二项分布的期望和方差公式得到结果，（2）的可取值为0，1，2，3．；；；．的分布列为0123．例12．某射手每次射击击中目标的概率是，求这名射手在10次射击中，（1）恰有8次击中目标的概率；（2）至少有8次击中目标的概率．【解析】解：（1）某射手每次射击击中目标的概率是，则这名射手在10次射击中恰有8次击中目标的概率为．（2）至少有8次击中目标的概率为．例13．一个盒子里有2个黑球和个白球．现举行摸奖活动：从盒中取球，每次取2个，记录颜色后放回．若取出2球的颜色相同则为中奖，否则不中．（Ⅰ）求每次中奖的概率（用表示）；（Ⅱ）若，求三次摸奖恰有一次中奖的概率；（Ⅲ）记三次摸奖恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取得最大值？【解析】解：（Ⅰ）取出2球的颜色相同则为中奖，每次中奖的概率；（Ⅱ）若，每次中奖的概率，三次摸奖恰有一次中奖的概率为；（Ⅲ）三次摸奖恰有一次中奖的概率为，，在上单调递增，在，上单调递减，时，取得最大值，即，即时，取得最大值．例14．作为家长都希望自己的孩子能升上比较理想的高中，于是就催生了“名校热”，这样择校的结果就导致了学生在路上耽误的时间增加了．若某生由于种种原因，每天只能骑车从家出发到学校，途经5个路口，这5个路口将家到学校分成了6个路段，每个路段的骑车时间是10分钟（通过路口的时间忽略不计），假定他在每个路口遇见红灯的概率均为，且该生只在遇到红灯或到达学校才停车．对每个路口遇见红灯情况统计如下：红灯12345等待时间（秒6060903090（1）设学校规定后（含到校即为迟到，求这名学生迟到的概率；（2）设表示该学生上学途中遇到的红灯数，求的值；（3）设表示该学生第一次停车时已经通过路口数，求随机变量的分布列和数学期望．【解析】解：（1）由题意知，当1，2，3，5路口同时遇到红灯时，该同学会迟到，这名学生迟到的概率：．（2）由题意知，．（3）由题意知，1，2，3，4，5，，，，，，，随机变量的分布列：012345．例15．“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度时，给出的区间内的一个数，该数越接近10表示越满意，为了解某大城市市民的幸福感，随机对该城市的男、女各500人市民进行了调查，调查数据如下表所示：幸福感指数，，，，，男市民人数1020220125125女市民人数1010180175125根据表格，解答下面的问题：（Ⅰ）完成频率分布直方图，并根据频率分布直方图估算该城市市民幸福感指数的平均值；（参考数据：（Ⅱ）如果市民幸福感指数达到6，则认为他幸福．据此，在该市随机调查5对夫妇，求他们之中恰好有3对夫妇二人都幸福的概率．（以样本的频率作为总体的概率）【解析】解：（Ⅰ）幸福感指数在，，，内的频数分别为和，因为总人数为1000，所以，相应的频率组距为：，，据此可补全频率分布直方图如右图．所求的平均值为；（Ⅱ）男市民幸福的概率是，女市民幸福的概率是，一对夫妇都幸福的概率是，故所求的概率为．例16．德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程，要求初等代数、初等几何都要合格，且初等数论和微积分初步至少有一门合格，则能取得参加数学竞赛复赛的资格，现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训，每一位同学对这四门课程考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同，（见下表），且每一门课程是否合格相互独立，课程初等代数初等几何初等数论微积分初步合格的概率（1）求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率；（2）记表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数，求的分布列及期望．【解析】解：（1）分别记甲对这四门课程考试合格为事件，，，，且事件，，，相互独立，“甲能能取得参加数学竞赛复赛的资格”的概率为：．（2）由题设知的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，，的分布列为：0123，．例17．甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率是，乙胜的概率是，不会出现平局．（1）如果两人赛3局，求甲恰好胜2局的概率和乙至少胜1局的概率；（2）如果采用五局三胜制（若甲、乙任何一方先胜3局，则比赛结束，结果为先胜3局者获胜），求甲获胜的概率．【解析】解：（1）甲恰好胜2局的概率；乙至少胜1局的概率；（2）打3局：；打4局：；打五局：因此甲获胜的概率为例18．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．甲一次种植了4株沙柳，根据以往的经验，这个人种植沙柳时每种植3株就有2株成活，且各株沙柳成活与否是相互独立的．（Ⅰ）写出成活沙柳的株数的分布列，并求其期望值；（Ⅱ）为了有效地防止风沙危害，该地至少需要种植24000株成活沙柳．如果参加种植沙柳的人每人种植4株沙柳，问至少需要具有甲的种植水平的多少人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．【解析】解：（Ⅰ）设成活沙柳的株数为，则，1，2，3，4，且有（4分）据题意，每种植3株就有2株成活，，株数的分布列为01234的期望值（7分）（Ⅱ）设参加种植沙柳且具有甲的种植水平的人数为，则这当中的每一个人都种植了4株沙柳．据（Ⅰ）的结果，这些人每人都能种植成活的沙柳株，因此，共种植成活的沙柳株．（10分）据题意，需，解得．所以，估计至少需要具有甲的种植水平的9000人来参加种植沙柳，才能保证有效防止风沙危害．例19．袋中装有13个红球和个白球，这些红球和白球除了颜色不同之外，其余都相同，若从袋中同时取两个球，取出的是2个红球的概率等于取出的是一红一白两个球的概率的3倍．（1）试求的值；（2）某公司的某部门有21位职员，公司将进行抽奖活动，规定：每个职员都从袋中同时取两个球，然后放回袋中，摇匀再给别人抽奖，若某人取出的两个球是一红一白时，则中奖（奖金1000元）；否则，不中奖（也发鼓励奖金100元）．试求此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值．【解析】解：（1）记“取出两个红球”和“取出一红一白两球”分别为事件和，根据题意，得：，（B），令（A）（B），即，解得．（2）设中奖人数为，不中奖人数为，奖金为，则，即，每人中奖的概率为（B），，．故此公司在这次抽奖活动中所发奖金总额的期望值为6780元．例20．为备战2012年伦敦奥运会，两家篮球队分轮次进行分项冬训．训练分为甲、乙两组，根据经验，在冬训期间甲、乙两组完成各项训练任务的概率分别为和假设每轮训练中两组都各有两项训练任务需完成，并且每项任务的完成与否互不影响．若在一轮冬训中，两组完成训练任务的项数相等且都不小于一项，则称甲、乙两组为“友好组”若求甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率；设在6轮冬训中，甲、乙两组成为“友好组”的次数为，当时，求的取值范围．【解析】解：（Ⅰ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为，则．（5分）（Ⅱ）设甲、乙两组在完成一轮冬训中成为“友好组”的概率为，则，（9分），即，，．（12分）例21．已知投资某项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中价格下降的概率都是．设该项目产品价格在一年内进行2次独立的调整，记产品价格在一年内的下降次数为，对该项目每投资十万元，取0、1、2时，一年后相应的利润为1.6万元、2万元、2.4万元．求投资该项目十万元，一年后获得利润的数学期望及方差．【解析】解：每次调整中价格下降的概率都是，由题设得，则的概率分布为012故收益的概率分布为1.622.4．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布