专题02椭圆的焦点弦、中点弦、弦长问题一、单选题1．已知斜率为1的直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，则弦的长为（）A． B． C． D．【解析】由椭圆得，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.即弦长为.故选：C.2．经过椭圆(a＞b＞0)的焦点且垂直于椭圆长轴的弦长为（）A． B． C． D．【解析】将或代入椭圆的标准方程得，，解得，因此，过焦点且垂直于长轴的弦长是.故选：D.3．已知F是椭圆的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则△ABF面积的最大值为（）A．6 B．15 C．20 D．12【解析】显然直线AB不垂直y轴，椭圆中心为原点O，设直线AB的方程为：x=my，由消去y得：，设，由椭圆对称性，不妨令，焦点，△ABF的面积，当且仅当时取“=”，所以△ABF面积的最大值为12.故选：D4．设，是椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于，两点，则的最大值为（）A．14 B．13 C．12 D．10【解析】因为，所以，所以当取最小值时，有最大值，当轴时，此时取最小值，且，所以的最大值为，故选：A.5．已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于、两点，且弦被点平分，则直线的方程为（）A． B．C． D．【解析】设点、，由已知可得，因为点、都在椭圆上，则，两式作差可得，即，所以，直线的斜率为，因此，直线的方程为，即.故选：C.6．已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于、两点．若的中点坐标为，则的方程为（）A． B． C． D．【解析】设点、，则，两个等式作差得，整理可得，设线段的中点为，即，另一方面，，所以，，所以，，解得，因此，椭圆的方程为.故选：D.7．过椭圆的焦点的弦中最短弦长是（）A． B． C． D．【解析】显然过椭圆焦点的最短弦所在直线l不垂直y轴，设l的方程为：x=my+c，由消去x并整理得：，设直线l与椭圆交于点，则有，则有，当且仅当时取“=”，于是，当，即直线l垂直于x轴时，，所以过椭圆的焦点的最短弦是与焦点所在坐标轴垂直的弦，最短弦长是.故选：A8．过椭圆上的焦点作两条相互垂直的直线，交椭圆于两点，交椭圆于两点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】当直线有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，则直线斜率为0，此时，，所以，当直线的斜率都存在且不为0时，不妨设直线的斜率为k，则直线的斜率为，不妨设直线都过椭圆的右焦点，所以直线，直线，联立与椭圆T，可得，，，所以，同理，所以，令，因为，所以，所以=，令，因为，所以，所以，所以，所以，综上的取值范围是.故选：C二、多选题9．已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（）A．椭圆焦距为 B．椭圆方程为C．弦长 D．【解析】因为的周长为8，所以，得，因为过右焦点F2，所以，所以，所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确；设，由得，解得，，故C正确；原点到直线的距离为，所以，故D错误.故选：BC.10．已知椭圆的焦距为6，短轴为长轴的，直线与椭圆交于，两点，弦的中点为，则直线的方程为（）A． B．C． D．【解析】由已知可得椭圆的，又长轴为短轴的，故椭圆方程为或，设弦的两端点为，，当椭圆方程为时，则有，两式相减得，整理得，∴弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得；当椭圆方程为时，则有，两式相减得，整理得，∴弦所在的直线的斜率为，其方程为，整理得.故选：AD.11．设椭圆的方程为，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A,B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是（）.A．直线AB与OM垂直；B．若点M坐标为（1,1），则直线方程为2x+y-3=0；C．若直线方程为y=x+1，则点M坐标为D．若直线方程为y=x+2，则.【解析】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，所以A项不正确；对于B项，根据，所以，所以直线方程为，即，所以B项正确；对于C项，若直线方程为，点，则，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，解得，所以，所以D正确；故选BD.12．已知椭圆：的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述正确的是（）A．存在直线，使得值为7B．存在直线，使得值为C．弦长存在最大值，且最大值为4D．弦长不存在最小值【解析】当直线，一个斜率为零一个斜率不存在时，可得即为长轴，为通径，则，则A是正确的；当直线，的斜率都存在时，不妨令直线的斜率为，由题意知的直线方程为，联立方程消去得，设，，由韦达定理知：，，所以，同理，特别地当时，，即，则正确；由，故当时，取到最大值，则C正确；由，但当弦的斜率不存在时，，故存在最小值，故D选项不对，故选：ABC．三、填空题13．直线交抛物线于A，B两点．若AB的中点横坐标为2，则弦长为______【解析】设，易知k=0不合题意，将直线代入抛物线方程得：，所以，因为AB的中点横坐标为2，所以，所以，则.14．已知椭圆的左焦点为，右焦点为，过作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，则的面积为________．【解析】由椭圆，则，，所以，所以椭圆的左、右焦点，，即，过作x轴的垂线与椭圆相交于A，B两点，易知与椭圆交于A，B两点，将代入椭圆，解得，所以，即.15．椭圆的右焦点为，，为轴上的两个动点，若，则面积的最小值为______．【解析】不妨设点，．由题知，，又，，即，所以．设的面积为，，则，，当且仅当时等号成立，所以面积的最小值为2．16．已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_______．【解析】由椭圆定义可知，，所以，，当且仅当，即时取“=”.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.四、解答题17．已知椭圆的短轴长为，焦点坐标分别是和.（1）求这个椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆交于､两点，且中点为，求直线的方程.【解析】∵焦点坐标分别是和，∴椭圆的焦点在x轴上，中心为原点，故可设椭圆方程为，且，又椭圆的短轴长为，∴，又，∴，∴椭圆的标准方程为，(2)设,∵P，Q都在椭圆上，∴，，相减可得，又中点为，∴，∴，即直线的斜率为，∴直线的方程为，即.18．已知椭圆，离心率为，点在椭圆C上.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若，过的直线l交椭圆C于M､N两点，且直线l倾斜角为，求的面积.【解析】（1）由题设，，则，故，∴椭圆C的标准方程为.（2）由题设易知：直线l为，联立椭圆并整理得：，∴，，则，到的距离为，∴19．椭圆经过点，离心率为，左、右焦点分别为（1）求椭圆的方程（2）斜率为的直线l与椭圆交于A，B两点，当时，求直线的方程【解析】（1）因为椭圆经过点，离心率为，所以，，因为，所以得，所以椭圆方程为，（2）设直线l为，设，由，得，由，得，由根与系数的关系得，因为，所以，解得，所以直线的方程为或20．已知椭圆：的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）求面积的最大值，并求此时直线的方程.【解析】（1）由题意得，解得，∴，所以椭圆C的方程为.（2）由得，.设，，则，，∴，又点到直线的距离为.所以的面积为，当且仅当即时，的面积有最大值为1，此时直线的方程为.21．已知椭圆C:的离心率，直线l过点和，且坐标原点O到直线l的距离为.（1）求的长；（2）过点的直线m与椭圆C交于、两点，当面积大时，求的值．【解析】（1）因为直线l过点和，所以直线的方程为，所以坐标原点O到直线l的距离，又离心率，且，解得，即，所以椭圆方程为，；（2）设直线，，，联立消去得，所以，，所以当且仅当即时取等号，即，所以22．已知椭圆：的左右焦点分别为，左顶点为，离心率为，上顶点，的面积为（1）求椭圆的方程；（2）设直线：与椭圆相交于不同的两点，是线段的中点.若经过点的直线与直线垂直于点，求的取值范围.【解析】（1）由已知，有.又，∴，∵，∴.∴椭圆的方程为（2）①当时，点即为坐标原点，点即为点，则，．∴．②当时，直线的方程为．则直线的方程为，即．设，.联立方程消去得此时∴∴∵为点到直线的距离，∴又为点到直线的距离，∴∴，令，则.∴即时，综上，可知的取值范围是.