专题11直线与抛物线的位置关系一、单选题1．直线与抛物线有且只有一个公共点，则，满足的条件是（）A． B．，C．， D．或【解析】当时，直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意；当时，由可得：，若直线与抛物线有且只有一个公共点，则，整理可得：，所以，综上所述：或，故选：D.2．过点作直线，使它与抛物线仅有一个公共点，这样的直线有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解析】当直线的斜率不存在时，直线符合题意．当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由，得．当时，符合题意；当时，由，可得，即当时，符合题意．综上，满足条件的直线有3条．故选：C3．已知抛物线的焦点为F，倾斜角为的直线过点，若上恰存在3个不同的点到的距离为，则的准线方程为（）A． B． C． D．【解析】由题意，抛物线的焦点为，因为直线的倾斜角为，所以直线，设直线与抛物线相切，联立方程组，可得，则，解得，且，故两平行线间的距离，解得，所以抛物线的方程为，则准线方程为.故选：B.4．给定抛物线，F是其焦点，直线，它与E相交于A，B两点，如果且，那么的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】直线与抛物线方程联立得：，因为直线与抛物线相交于A，B两点，所以，设，因此有，且，由，代入中得：且，解得：，函数在时单调递减，所以，因此，所以或，故选：C5．已知抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．则的值为（）A．4 B． C．1 D．【解析】抛物线的焦点为，过的焦点且斜率为的直线方程为，因为该直线与抛物线有两个交点，，所以，联立，消去得，.由韦达定理得，.故选：B.6．已知点P是抛物线上任一点，则点P到直线l：距离的最小值为（）A． B． C． D．2【解析】设与抛物线相切，且与直线平行的直线方程为，由得，所以，，所以切线方程为，切线与直线的距离为．即为到直线的最小值．故选：D．7．已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，则的最小值为（）A． B． C． D．9【解析】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，抛物线的方程为．设直线的方程为，将此方程代入，整理得．设，，则，所以，当且仅当，即时等号成立．故选：B．8．已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于两点，为弦的中点，为坐标原点，直线与抛物线的另一个交点为，则的取值范围是（）A． B．) C． D．【解析】由题意知，设，直线，代入得，有，所以，所以所以直线，代入得，所以，故选：D二、多选题9．已知，过抛物线：焦点的直线与抛物线交于，两点，为上任意一点，为坐标原点，则下列说法正确的是（）A．过与抛物线有且只有一个公共点的直线有两条B．与到抛物线的准线距离之和的最小值为3C．若，，成等比数列，则D．抛物线在、两点处的切线互相垂直【解析】设过的直线方程为：，又抛物线的方程为：，联立方程可得：化简得：，，时，解得，即有两解.又时，，所以直线与抛物线有一个交点过与抛物线相交且有一个公共点的直线有三条，选项A错误；，与到抛物线的准线距离之和等于，又，选项B正确；设，，直线的方程为，代入抛物线的方程可得，所以，，因为，所以，选项C正确；不妨设，由得，由得，所以抛物线在处的切线的斜率为，在处的切线的斜率为，因为，所以两条切线相互垂直，选项D正确．故选：BCD．10．过抛物线的焦点F的直线l与抛物线C交于，两点，若，则直线l的斜率为（）A． B．2 C． D．-2【解析】设直线的方程为，联立得，所以,，，,由题得.因为，所以.满足.故选：BD11．设是抛物线的焦点，直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，则下列结论正确的是（）A．B．可能大于C．若，则D．若在抛物线上存在唯一一点（异于、），使得，则【解析】对于A选项，设、.联立直线与抛物线可得，则，，则，故A正确；对于B选项，，故B错误；对于C选项，过点作直线的垂线，垂足为点，由抛物线的定义可得，则，当点、、三点共线时，取最小值，且的最小值为点到直线的距离，故的最小值为，故C正确；若存在唯一一点，使得，，同理可得，，由题意可得且，则，整理可得，由题意可知，关于的二次方程只有唯一解，则，解得，D选项正确.故选：ACD.12．已知直线和抛物线交于、两点，直线、（为坐标原点）的斜率分别为、，若，则（）A． B．C． D．【解析】设点、，联立，消去可得，，解得，由韦达定理可得，.对于A选项，，A选项错误；对于B选项，，解得，B选项正确；对于C选项，，，C选项错误；对于D选项，，D选项正确.故选：BD.三、填空题13．已知O为坐标原点，点P(1，2)在抛物线C:y2=4x上，过点P作两直线分别交抛物线C于点A，B，若kPA+kPB=0，则kAB·kOP的值为____.【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，，同理kPB=．∵kPA+kPB=0，∴+，得y1+y2=，∴kAB=．又kOP==2，∴14．已知点A到点F(1,0)的距离和到直线x＝－1的距离相等，点A的轨迹与过点P(－1,0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是________．【解析】设点，依题意得点在以为焦点，以直线为准线的抛物线上，A点的轨迹为.由题意可知：过点且斜率为的直线方程为，由消去，得，当时，显然不符合题意；当时，依题意得中，化简得，解得或.因此的取值范围为.15．抛物线的焦点为，已知抛物线在点处的切线斜率为2，则直线与该切线的夹角的正弦值为______．【解析】由，得，则，设点的坐标为，则由题意可得，解得，则，所以，因为抛物线的焦点，所以，设切线与的夹角为，则，所以16．过抛物线：的焦点的动直线交于，两点，线段的中点为，点.当的值最小时，点的横坐标为___________.【解析】设抛物线的准线为，作，，，垂足分别为，，.则，∴，∴，点到直线的距离为13，∴，当，，三点共线且在，之间时，，此时，点的纵坐标为.∵过点，故设方程为，代入，得，，，则.当，，三点共线时，，∴，，直线的方程为，.点在，之间，成立，所以，当的值最小时，点的横坐标为9.四、解答题17．已知抛物线：，坐标原点为，焦点为，直线：．（1）若与只有一个公共点，求的值；（2）过点作斜率为的直线交抛物线于、两点，求的面积．【解析】（1）依题意消去得，即，①当时，显然方程只有一个解，满足条件；②当时，，解得；综上，当或时直线与抛物线只有一个交点；（2）抛物线：，所以焦点，所以直线方程为，设，，由，消去得，所以，，所以，所以.18．已知,是抛物线上的点.（1）若点在其准线上的投影为，求的最小值；（2）求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程.【解析】（1）由抛物线，可得其焦点为，如图所示，根据抛物线的定义，可得，所以，当点三点共线时，等号成立，又由，所以，即的最小值为.（2）①当过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时直线与抛物线只有一个交点，满足题意；②当过点的直线斜率存在时，设直线方程为，联立方程组，整理得，当时，方程可只有一解，此时直线方程为；当时，令，解得，所以直线方程为.综上可得，直线方程为或或.19．已知曲线在轴右边，上每一点到点的距离减去它到轴距离的差都是.（1）求曲线的方程；（2）是否存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设是曲线上任意一点，由题意可得：，整理可得：，（2）存在，理由如下：设过点的直线与曲线的交点为，，设直线的方程为，由得：，，所以，又，，由，可得，所以，，将代入上式可得：对任意的实数恒成立，所以，解得：，所以存在正数，对于过点且与曲线有两个交点的任一直线，都有，且的取值范围.20．已知抛物线：，点M在抛物线C上，点N在x轴的正半轴上，等边的边长为.（1）求C的方程；（2）若平行轴的直线交直线OM于点P，交抛物线C于点，点T满足，，判断直线TM与抛物线C的位置关系，并说明理由.【解析】（1）等边的边长为，得，代入，解得，所以，C的方程为.（2）相切.理由如下；由（1）得C的方程为，.由等边得，直线的方程为，不妨设直线的方程为，则，，设点，从而，，，由得，，由得，，整理得，所以，由题知.设直线的斜率为，则，则直线的方程为，即，与抛物线联立得，整理得，从而所以直线与抛物线相切.21．已知动圆过点，且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）设直线交曲线于，两点，以为直径的圆交轴于，两点，若，求的取值范围.【解析】（1）设，由题意得到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知曲线的方程为.（2）设，，由题意可知直线过的焦点，联立消去得，整理得，∴.∵过的焦点，∴以为直径的圆的圆心为，半径为，∵，解得，或，∴的取值范围是.22．已知中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为的椭圆C过点.（1）求C的标准方程；（2）是否存在不过原点O的直线l∶y=kx+m与C交于P，Q两点，使得直线OP､PQ､OQ的斜率成等比数列､若存在，求k的值及m的取值范围；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设C的标准方程为（a>b>0），由题意得，，解得，∴C的标准方程为（2）联立，得（m≠0），设，则，∴∵OP，PQ，OQ的斜率成等比数列，∴，∴，∴，∴，∴，解得∵，∴，解得，∵，∴，解得.综上，，m的取值范围为.