专题10双曲线中的向量问题一、单选题1．过双曲线的右焦点作倾斜角为的直线交双曲线右支于，两点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【解析】过右焦点的直线的倾斜角,不妨设直线方程为：，联立方程，得，设，，，因为，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以，所以，所以，所以.故选：D2．已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线交双曲线C的左支于P，Q两点，若，且的周长为，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【解析】由双曲线定义知，则，，所以，∴的周长为，∴，，由，所以，故，∴，∴，，∴，在中，，故.故选：A.3．、分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则（）A． B． C． D．【解析】在双曲线中，，，，则、，因为直线过点，由图可知，直线的斜率存在且不为零，，则为直角三角形，可得，由双曲线的定义可得，所以，，可得，联立，解得，因此，.故选：C.4．已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，直线过点且与的右支交于，两点，若，，则直线的斜率为（）A． B． C． D．【解析】设，，，由题可知，是线段的中点，，∴，∵，分别是双曲线右支上的点，∴两式相减并整理得，∴，即，又，∴，∴.故选：B5．已知抛物线与双曲线有共同的焦点，为坐标原点，在轴上方且在双曲线上，则的最小值为（）A． B． C． D．【解析】由抛物线方程知：，，解得：；设，，，，在轴上方且在双曲线上，且，，当时，取得最小值，最小值为.故选：C.6．已知椭圆与双曲线有相同的左焦点、右焦点，点是两曲线的一个交点，且.过作倾斜角为45°的直线交于，两点（点在轴的上方），且，则的值为（）A． B． C． D．【解析】不妨设为椭圆与双曲线在第一象限内的交点，椭圆方程为，，由双曲线定义可知：，又因为，所以，，所以，所以，所以，所以，所以，所以椭圆方程为，又因为，所以，所以，所以，所以，又因为，所以，所以，解得，故选：A.7．经过双曲线的右焦点作倾斜角为45°的直线，交双曲线于，两点，设为坐标原点，则等于（）A． B．1 C．2 D．【解析】由双曲线的方程可知，右焦点坐标为，的直线方程可设为，设，，则，联立可得，，，，．故选：B．8．已知分别是双曲线的左右焦点，为轴上一点，为左支上一点，若，且周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【解析】设椭圆半焦距为，取的中点，连接，连接、，如图所示：由平面向量线性运算法则可得，因为，所以即，所以，，又的周长为，所以当取最小值时，的周长最小，当、、三点共线时，取最小值，且，所以，化简得，所以.故选：C.二、多选题9．已知双曲线，，O为坐标原点，M为双曲线上任意一点，则的值可以是（）A． B． C． D．【解析】设点，则或，且有，可得，，，，令，其中或，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线.①当时，函数单调递减，此时；②当时，函数单调递增，此时.综上所述，函数在上的值域为.因此，的值可以是、、.故选：BCD.10．已知双曲线且成等差数列，过双曲线的右焦点F（c，0）的直线l与双曲线C的右支相交于A，B两点，，则直线l的斜率的可能取值为（）A． B．－ C． D．－【解析】因为成等差数列，所以，所以．设左焦点为，则．令，则，即，将代入解得，从而解得，故，而是直线l的倾斜角或倾斜角的补角，所以直线l的斜率的值为－或．故选：AB.11．已知椭圆，双曲线．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（）A．椭圆的离心率 B．双曲线的离心率C．椭圆上不存在点使得 D．双曲线上存在点使得【解析】如图，设，则由正六边形性质可得点，由点在椭圆上可得，结合可得，椭圆离心率，当点为椭圆上顶点时，，此时；点在双曲线的渐近线上可得即,双曲线的离心率为,当点为双曲线的顶点时，易知.故选：ABD.12．已知双曲线的右顶点、右焦点分别为、，过点的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为，，且，则下列结论正确的是（）A．直线与轴垂直 B．的离心率为C．的渐近线方程为 D．（其中为坐标原点）【解析】由已知得，设，由，得，所以轴，即，A正确；不妨设点在第一象限，易知，，，即点，设，由，得，所以，所以，即．因为点在双曲线上，所以，整理得，所以，解得或（负值舍去），B正确；，故C的渐近线的斜率的平方为，C错误；不妨设点在第一象限，则，所以，D错误．故选：AB．三、填空题13．、是双曲线的左、右焦点，过点的直线与的左、右两支曲线分别交于、两点，若，则______．【解析】如下图所示：在双曲线中，，，，则、，因为直线过点，由题意可知直线的斜率存在且不为，，所以，为直角三角形，所以，，又因为，可得，整理可得，，解得，，所以，.14．已知双曲线，右焦点为，点是直线在第一象限上的动点，直线与双曲线的一条渐近线在第一象限上的交点为，若，则__________．【解析】在双曲线中，则即，所以右焦点为，设，，，双曲线的渐近线方程为：，由，则点在直线上.,所以，解得，则，所以15．已知为椭圆和双曲线的公共顶点，分别为双曲线和椭圆上不同于两点的动点，且有，设直线、、、的斜率分别为，则______．【解析】由题意，，可知三点共线．、，设、，点在双曲线上，则．所以①又由点在椭圆上，则．同理可得②三点共线．．由①、②得．16．已知点在双曲线上，点满足（），且，，则的最大值为________【解析】，，则，，设，，，，则，即，将点代入双曲线中得：，①，，②，由①②得，，．则的最大值为8．四、解答题17．点是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求的值；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求的值．【解析】（1）因为点是双曲线E：上一点，所以，又，，由直线PM，PN的斜率之积为，所以，即，又，得，所以；（2）由（1）可得双曲线的方程为，因为，所以，联立得，设，，所以，设，由，所以，又为双曲线上一点，即，所以，化简得，又，在双曲线上，则，，又有即有，即，解得或18．设双曲线C：与直线l：相交于两个不同的点A、B．（1）求实数a的取值范围；（2）设直线l与y轴的交点为P，若，求a的值．【解析】（1）将代入双曲线方程中得.依题意，，∴且．（2）设，由，∴，得．由于是方程的两根，且，∴，，消去得．由，解得．19．已知抛物线的焦点为，圆，，分别是抛物线和圆上的动点，当点在第一象限且轴时，的最大值为4．（1）求抛物线的方程；（2）已知过点的直线交抛物线于，两点，且直线，设直线与抛物线的另一个交点为，求的最小值．【解析】（1）当点在第一象限且轴时，点的坐标为．因为圆的圆心为，半径，所以，所以，解得或（舍去），故抛物线的方程为．（2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设的方程为，由可得．设，，则，．因为直线，所以直线的斜率为．设，，同理可得，．故，当且仅当，即时，取得最小值16．20．双曲线：的顶点与椭圆：长轴的两个端点重合，且一条渐近线的方程为．（1）求双曲线的方程；（2）过双曲线右焦点作直线与分别交于左右两支上的点，，又过原点作直线，使，且与双曲线分别交于左右两支上的点，．是否存在定值，使得？若存在，请求的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由椭圆：得到：，双曲线的渐近线方程为，得到：，解得：.则双曲线的方程．（2）若存在定值，使得，∵与同向，∴，∵，设：，由消去整理得：，∴，由交左右两支于、两点，有，即，则，，由于，可设：，由消去整理得：，∴，由此，∴，故存在定值，使得．21．已知双曲线的离心率为，点在上．（1）求双曲线的方程；（2）设过点的直线l与曲线交于M，N两点，问在x轴上是否存在定点Q，使得为常数？若存在，求出Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．【解析】（1）由题意，，解得，．∴双曲线方程为；（2）设直线的方程为，设定点，联立，得．∴，且，解得且．设，，∴，，∴，．∴为常数，与无关，∴，即，此时．∴在轴上存在定点，使得为常数．22．已知常数，向量，，经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点，其中.（1）求点的轨迹的方程；（2）若，过的直线交曲线于，两点，求的取值范围.【解析】（1）设，则，，又，，由题意，，∴，.消去得点轨迹的方程；（2）当时，点轨迹方程为，此时为双曲线焦点，①若直线斜率不存在，直线，不妨设，易求得；②若斜率存在，设，代入，整理得，则，设，，则，，，由且可得，所以；综上，的取值范围为.