专题08双曲线中的参数范围及最值问题一、单选题1．若点和点分别为双曲线的中心和左焦点，点为该双曲线上的任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．【解析】由题意，点，点，设点，则，，，所以，所以，所以当时，取最小值.故选：B.2．过双曲线的右焦点作直线与双曲线交于，两点，使得，若这样的直线有且只有两条，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】若，在同一支上，当时为双曲线的通经，即有；若，不在同一支上，则．因为与不可能同时等于6，所以或，解得或，故选：B3．已知，是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】，即，即，又，所以，所以，可得，故选：A4．设双曲线的焦距为2，若以点为圆心的圆过的右顶点且与的两条渐近线相切，则长的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】由题可得渐近线方程为，，由于圆与两条渐近线都相切，则在轴或轴上，又圆过的右顶点，则在轴正半轴上，即，圆心到渐近线的距离为，又圆半径为，则由题可得，即，又，则，，，，则长的取值范围是.故选：B.5．设双曲线的离心率为，A，B是双曲线C上关于原点对称的两个点，M是双曲线C上异于A，B的动点，直线斜率分别，若，则的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】设，则，那么，两式相减得：，整理得：即，又因为双曲线的离心率为，所以，所以，故，其中，所以，故选：D.6．已知、是双曲线上关于原点对称的两点，是上异于、的动点，设直线、的斜率分别为、．若直线与曲线没有公共点，当双曲线的离心率取得最大值时，且，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】因为直线与双曲线没有公共点，所以双曲线的渐近线的斜率，而双曲线的离心率，当双曲线的离心率取最大值时，取得最大值，即，即，则双曲线的方程为，设、、，则，两式相减得：，即，即，又，．故选：A.7．已知是双曲线上任意一点，，是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线，的斜率分别为，若的最小值为1，则实数的值为（）A．16 B．32 C．1或16 D．2或8【解析】双曲线中，设，，，则，，所以相减得，∴，因此．从而，所以（当且仅当时取等号）．故选：B．8．已知点，．设点满足，且，，则的最大值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解析】因为，所以点在以，为焦点，实轴长为6，焦距为10的双曲线的右支上，则双曲线的方程为．由题意知在圆上，在圆上，如图所示，，，则．当是延长线与圆的交点，是与圆的交点时取等号．故选：C．二、多选题9．如果双曲线的一条渐近线上的点关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点为双曲线上的动点，已知，则的值可能为（）A． B．2 C． D．4【解析】由在双曲线的渐近线上知，，设右焦点，由M与F关于对称知，，故，，，双曲线方程为，设双曲线左焦点为，若P在左支上，由双曲线定义知，；若P在右支上，由双曲线定义知，则根据选项的数值大小关系知，CD满足条件；故选：CD10．已知动点P在左、右焦点分别为、的双曲线C上，下列结论正确的是（）A．双曲线C的离心率为2 B．当P在双曲线左支时，的最大值为C．点P到两渐近线距离之积为定值 D．双曲线C的渐近线方程为【解析】在双曲线C中，实半轴长，虚半轴长，半焦距.对于AD，双曲线的离心率，渐近线方程为，故A正确，D错误；对于B，当P在双曲线的左支上时，，故，当且仅当时，即时等号成立，故的最大值为，故B错误；对于C，设，则，即，而渐近线为和，故到渐近线的距离之积为为定值，故C正确.故选：AC.11．已知双曲线，不与轴垂直的直线与双曲线右支交于点，，（在轴上方，在轴下方），与双曲线渐近线交于点，（在轴上方），为坐标原点，下列选项中正确的为（）A．恒成立B．若，则C．面积的最小值为1D．对每一个确定的，若，则的面积为定值【解析】设，代入得，①显然，，即，设，，则，是方程①的两个根，有，，设，，由得，由，得；所以，所以和的中点重合，所以，所以恒成立．故A正确．因为和的中点重合为，所以，又，所以，所以，故B正确．设直线方程为，，由得，由得，，，，，故C错误.因为，所以，得，即，所以，，又，，，所以是定值．故D正确．故选：ABD.12．已知，是双曲线：的两条渐近线，直线经过的右焦点，且，交于点，交于点，交轴于点，则下列说法正确的是（）A．与的面积相等B．若的焦距为4，则点到两条渐近线的距离之积的最大值为C．若，则的渐近线方程为D．若，则的离心率【解析】由题可知，，不妨记：，：．由可得的方程为，与的方程联立可解得，，即点．对于，令，可得，即点，所以，，所以，所以选项正确；设点的坐标为，则，即，所以到两条渐近线的距离之积为，因为的焦距为4，所以，所以，因为，所以，，所以，所以点到两条渐近线的距离之积的最大值为1，所以选项错误；由得为的中点，则，，即点，代入双曲线的方程得，即，又，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，所以选项正确；由与，得，所以，得，所以，所以选项错误．故选：AC．三、填空题13．已知是双曲线上的一点，半焦距为，若（其中为坐标原点），则的取值范围是___________.【解析】因为，所以，所以，又，可得，所以，，所以，.14．已知双曲线C：（，）的渐近线方程为，若动点P在C的右支上，，分别为C的左，右焦点，的最小值是2a（其中O为坐标原点），则的最小值为___________【解析】设，且，，则,，因此，当时，取得最小值，且最小值为，即，所以，解得，，设（），则，所以，（当即时取等号），即的最小值为8.15．过点作直线与双曲线交于，两点，若点恰为线段的中点，则实数的取值范围是______.【解析】因为双曲线方程为，则，设,，因为点恰为线段的中点，则，则,两式相减并化简可得，即直线的斜率为2，，所以直线的方程为，,化简可得，因为直线与双曲线有两个不同的交点，所以，解得且，所以的取值范围为16．已知双曲线的方程为，点是其左右焦点，是圆上的一点，点在双曲线的右支上，则的最小值是__________.【解析】如图∵双曲线的方程为，右焦点坐标为，连接.由双曲线的定义，得.∴.因为点是圆上的点，此时圆心为，半径为1，∴，∴，当点M，A在线段上时上式取等号，即的最小值为.四、解答题17．已知双曲线，斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点.（1）若直线过，且，求直线的斜率.（2）若线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.【解析】（1）设，，因为，所以，即，所以，所以，所以，，即，所以.（2）设直线的方程为（）．由，整理得．则，，因为直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，于是，且．，整理得．设线段的中点坐标，则，．所以的垂直平分线方程为．此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题可得．整理得，．所以可得，整理得，．解得或．所以的取值范围是．18．在平面直角坐标系内，已知双曲线：()，（1）若的一条渐近线方程为，求的方程；（2）设、是的两个焦点，为上一点，且，△的面积为，求的值；（3）若直线与交于、两点，且坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，求的取值范围.【解析】（1）由双曲线：()可得其渐近线方程为，而的一条渐近线方程为，故即的方程为：.（2）不妨设在第一象限，、分别为左右焦点，则，，而，所以，所以，故的面积为，所以，因为，故.（3）设，因为坐标原点O始终在以AB为直径的圆内，故为钝角，所以即，故即.由可得，所以，又，故，故且.又可化简为，该不等式对任意的且恒成立.故且.19．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线的左顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若的面积为．（1）求双曲线E的方程；（2）若直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．【解析】（1）因为双曲线为等轴双曲线，所以，设双曲线的焦距为2c，，故，即．因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将代入，可得，故．将的面积为，所以，即，所以，，故双曲线E的方程为．（2）依题意，直线与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，联立方程组消去y可得，，所以解得，且所以．联立方程组得，同理，所以．所以，其中，所以．20．已知双曲线的离心率为，且焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的标准方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的取值范围．【解析】(1)焦点到渐近线的距离为,又,∴,∴,∴双曲线的标准方程为.(2)设直线的方程为,,,则由消去,可得,根据题意可知,且,即①,设线段的中点坐标为,则,,∴线段的垂直平分线方程为,此直线与轴,轴的交点坐标分别为,,∴,化简可得②,将②代入①得,即,解得或,∴实数的取值范围是.21．已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线恒有两个不同的交点和，且(其中为原点)，求的取值范围．【解析】(1)设双曲线的方程为，则，再由，得故的方程为(2)将代入，得由直线与双曲线交于不同的两点，得①，设则又，得，，即，解得②，由①②得＜k2＜1，故的取值范围22．己知等轴双曲线的顶点分别是椭圆的左、右焦点、.（1）求等轴双曲线的方程；（2）为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为，和，，求的最小值.【解析】（1）由椭圆可得，所以等轴双曲线的顶点为，设等轴双曲线为，所以，所以等轴双曲线的方程为；（2）设，，,,设直线的方程为，直线的方程为，由得：，所以显然成立，所以，同理可得，所以，，联立直线和：，解得，所以，因为在双曲线上，所以，解得，所以，.当且仅当，即时，取得最小值.