专题13抛物线中的参数问题一、单选题1．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是（）A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)【解析】∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，∴，即，又抛物线上的点到准线的距离的最小值为，∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为．故选：D.2．在平面直角坐标系中，已知直线与曲线（为参数且）恰有两个不同的交点，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．【解析】曲线（为参数）的普通方程为，由可得即，因为直线与曲线在第一象限有两个不同的交点，而直线过定点，故且，故，故选：A.3．已知点为抛物线的焦点，，过点且斜率为的直线交抛物线于，两点，点为抛物线上任意一点，若，则的最小值为（）A． B． C． D．【解析】由题可得，则直线的方程为，设，设，则，，，由可得，则，两式相减得则可得，则当时，取得最小值为.故选：A.4．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（）A． B．C． D．【解析】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，，抛物线是，设直线方程为，，由消去，化简整理得，因此，由得，，.因为，所以，即.，即，解得.代入得到，，或.故选：A．5．已知抛物线，过点的直线与抛物线相交于两点，则的最小值为（）A．12 B．24 C．16 D．32【解析】当直线的斜率不存在时，其方程为，由得，所以．当直线的斜率存在时，设其方程为，由得，所以，所以，综上，．所以的最小值为32．故选:D．6．已知抛物线，点，为坐标原点，若抛物线上存在一点，使得，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】设，则，．因为，所以，所以，所以实数的取值范围是，故选：C．7．抛物线上任意一点到顶点的距离与到焦点的距离之比是，则的取值范围是（）A． B． C． D．【解析】设，由抛物线定义知：，又，，（当且仅当，即时取等号），又，，，.故选：.8．已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于，则的最大值为A． B． C． D．【解析】由题意可得，焦点F（1，0），准线方程为x＝−1，过点P作PM垂直于准线，M为垂足，由抛物线的定义可得|PF|＝|PM|＝x＋1，记∠KPF的平分线与轴交于根据角平分线定理可得，，当时，，当时，，，综上：．故选A．二、多选题9．已知抛物线，点，过M作抛物线的两条切线，其中A，B为切点，直线与y轴交于点P，则下列结论正确的有（）A．点P的坐标为 B．C．的面积的最大值为 D．的取值范围是【解析】由题意，设，由，可得，所以点处的切线的斜率为，点处的切线的斜率为，设过点的切线方程为，联立方程组，可得，由，可得，又由，则，所以不垂直，所以B不正确；由，所以的直线方程为，即，将代入直线的方程，可得，由知，方程成立，所以点在直线上，所以A正确；由点在直线上，可设直线的方程为，则点到的距离为，且，所以，因为，可得，所以的最大值为，所以C正确；由，所以，由，可得，所以，因为，可得，又由，设，可得，即，解得或，即的取值范围是，所以D不正确.故选：AC.10．如图，过点作两条直线和：（）分别交抛物线于，和，（其中，位于轴上方），直线，交于点．则下列说法正确的（）A．，两点的纵坐标之积为B．点在定直线上C．点与抛物线上各点的连线中，最短D．无论旋转到什么位置，始终有【解析】设点，将直线l的方程代入抛物线方程得：.则，故A正确；由题得，则，，直线的方程为，直线的方程为，消去y得，将代入上式得，故点Q在直线上，故B正确；设抛物线上任一点，则，当时，最小，此时，即最短，故C正确；因为，但，所以D错误.故选：ABC.11．已知抛物线：的焦点为、准线为，过点的直线与抛物线交于两点，，点在上的射影为，则（）A．若，则 B．以为直径的圆与准线相切C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条【解析】对于选项A：由可得，根据抛物线的定义可得，故选项A正确；对于选项B：设为中点，设点在上的射影为，点在上的射影为，则由梯形性质可得，故选项B正确；对于选项C：因为，所以，故选项C正确；对于选项D：显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线为，联立可得，令，解得：，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故选项D错误；故选：ABC12．已知抛物线：，圆：，过点的直线与圆交于，两点，交抛物线于，两点，则满足的直线有三条的的值有（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为：与抛物线交于点，与圆交于点，显然满足条件；当直线斜率存在时，设直线方程为，由得，设，，，由韦达定理可得，，由，设，，，，有，，当时，即，又因为，所以(舍)，当时，即，因为，，由此，，解得，显然，当，有两解，对应直线有两条.，，此时直线斜率不存在，即为第一种情况，所以当时，对应直线有三条.故选：BCD三、填空题13．直线与抛物线至多有一个公共点，则的取值范围______【解析】把代入得(1)若，则，方程只有一解，符合题意.(2)若，直线与抛物线至多有一个公共点，，解得所以或14．已知点P在抛物线上，直线PA，PB与圆相切于点A，B，且PA⊥PB，若满足条件的P点有四个，则m的取值范围是___________．【解析】因为直线PA，PB与圆相切于点A，B，且PA⊥PB，所以四边形QAPB为正方形，所以，所以问题转化为圆与抛物线有四个公共点，将抛物线方程代人圆的方程消去，得，由题意，此方程有两个不等正根，故，解得15．设､分别是抛物线和圆上的点.若存在实数使得，则的最小值为________.【解析】设，圆心坐标，，，是圆上任意一点，的最小值为，由可得，的最小值即为最小值为16．抛物线上存在两点关于直线对称，则的范围是______.【解析】设抛物线上两点，关于直线对称，中点，则当时，有直线，显然存在点关于它对称.当时，，所以，所以的坐标为，因为在抛物线内，则有，得且，综上所述，.四、解答题17．已知抛物线的焦点为，若过点且倾斜角为的直线交抛物线于，两点，满足.（1）求抛物线的方程；（2）过点且斜率为1的直线被抛物线截得的弦为，若点在以为直径的圆内，求的取值范围.【解析】（1）抛物线的焦点为，，则过点的倾斜角为的直线方程为，联立，得，设，，，，则，由抛物线的定义可得，解得，所以抛物线的方程为．（2）设直线的方程为，代入，得，由△，得，设，，，，得，，又，所以，，，，因为点在以为直径的圆内，所以为钝角，即，得，得，所以，得，解得，又，所以的取值范围为．18．已知点，分别是直线及抛物线：()上的点，且的最小值为.（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于点，，线段中点为，判断轴上是否存在点，使得为定值，若存在，求出该定值，若不存在，说明理由.【解析】（1）依题意直线y=2x+2与抛物线C没有公共点，由得，，即，设点是抛物线上任意一点，则，而的最小值为，则，解得或(舍去)，所以抛物线的方程为；（2）设，，，把直线与联立得，由题意可得，则，，而M为线段PQ中点，于是得，从而有时，是定值，与k的取值无关，所以轴上存在点，使得为定值.19．已知抛物线：的焦点为，点在上，直线：与相离．若到直线的距离为，且的最小值为．过上两点分别作的两条切线，若这两条切线的交点恰好在直线上．（1）求的方程；（2）设线段中点的纵坐标为，求证：当取得最小值时，．【解析】（1）由题意，得，且的最小值等于点到直线的距离，即，解得（负值舍去），∴抛物线的方程为．（2）由，得，故，设，，则切线方程分别为，，设两切线的交点为，代入切线方程并整理可得：，，即，是方程的实数根．则，，则线段中点纵坐标为，∴当时，取最小值．此时，，，，，则．∴．解法二：（同解法一）∴当时，取最小值．此时，，由得，故，∴．20．已知抛物线：的焦点为，点在第一象限且为抛物线上一点，点在点右侧，且△恰为等边三角形.（1）求的方程；（2）若直线：与交于，两点，(其中为坐标原点)，求实数的取值范围.【解析】（1）由题意知：，，由抛物线的定义知：，由，得，∴抛物线的方程为.（2）设，，由，得，，∴，而，，又，即，∴且，∴，得，即的取值范围为.21．已知抛物线，圆，过点引圆的两条切线，与抛物线分别交于两点，与圆的切点分别为．（1）当时，求所在直线的方程；（2）记线段的中点的横坐标为，求的取值范围．【解析】（1）由条件知，以线段为直径的圆的方程为，而，两圆相减得：，即为所在直线的方程；（2）由题意知切线、的斜率存在，分别设，于是切线、的方程分别为，．设，则点到切线的距离为，两边平方整理得：，同理可得，于是可知是方程的两个实根，则．又，所以，联立消，整理得，显然，韦达定理可知，所以．同理：．于是的取值范围．22．已知抛物线的焦点为，经过点作倾斜角为的直线交于，两点，且弦的长．（1）求抛物线的方程；（2）设直线的方程为，且与相交于，两点，若是关于原点的对称点，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．【解析】（1）设，．依题意，知直线的方程为，即，将它代入抛物线的方程中，并整理得．由韦达定理得，，其对恒成立；由弦长公式得，化简得且，解得．故抛物线的方程为．（2）设，，由（1）易得，则依题意知．而①；又因，两点在直线上，于是，代入①式整理得②．将的方程代入的方程中，化简得，由韦达定理得，③，其且，解得且；将③式代入②式化简得且．分情况讨论如下：当时，由均值不等式得，当且仅当，且，即时取等号；当时，令，则对恒成立，从而知在区间上单调递增，所以．综上得的取值范围为．