课后训练基础巩固1．若等腰三角形底角为72°，则顶角为( )．A．108° B．72° C．54° D．36°2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝BD＝BC，则∠C＝( )．A．72° B．60° C．75° D．45°3．若等腰三角形的周长为26cm，一边为11cm，则腰长为( )．A．11cm B．7.5cmC．11cm或7.5cm D．以上都不对4．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有( )．A．①②③ B．①②④C．①③ D．①②③④5．如图所示，已知∠1＝∠2，要使BD＝CD，还应增加的条件是( )．①AB＝AC ②∠B＝∠C ③AD⊥BC ④AB＝BCA．① B．①②C．①②③ D．①②③④6．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则AB＝__________.能力提升7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD和CD分别是∠ABC和∠ACB的平分线，EF过D点，且EF∥BC，图中等腰三角形共有( )．A．2个 B．3个C．4个 D．5个8．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A、B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是( )．A．6 B．7 C．8 D．99．如图，D是△ABC中BC边上一点，AB＝AC＝BD，则∠1和∠2的关系是( )．A．∠1＝2∠2B．∠1＋∠2＝90°C．180°－∠1＝3∠2D．180°＋∠2＝3∠110．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝4.2cm，则AD＝__________.11．如图，若B、D、F在AN上，C、E在AM上，且AB＝BC＝CD，EC＝ED＝EF，∠A＝20°，则∠FED＝__________.12．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O.(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．13．(综合应用)如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，求PD的长．14．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，且∠AEF＝∠AFE.求证：EF⊥BC.(第14题图) (第15题图)15．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠A＝90°，BD是∠ABC的角平分线，CH⊥BD，交BD的延长线于H，求证：BD＝2CH.16．(实际应用题)如图，某船上午11时30分在A处观测岛B在东偏北30°，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛40海里．(1)求船到达C点的时间；(2)若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？参考答案1．D 点拨：等腰三角形两底角相等，所以顶角为36°，故选D.2．A 点拨：设∠A＝x，由已知可知，∠BDC＝∠C＝∠ABC＝2∠A＝2x，因为∠A＋∠ABC＋∠C＝180°，所以x＋2x＋2x＝180°.解得x＝36°，所以∠C＝72°，故选A.3．C 点拨：边长为11cm的边长可能是腰，也可能是底，所以要分两种情况讨论．一种情况腰长为11cm；另一种情况底边为11cm，此时腰长为7.5cm，两种情况都成立，故选C.4．D 点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D.5．C 点拨：①②说明△ABC为等腰三角形，由“三线合一”可知BD＝CD，由③能得到△ABD≌△ACD，所以BD＝CD，④不能得到BD＝CD，故选C.6．8 点拨：由题意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°，所以AC＝2AD，AB＝2AC.所以AB＝4AD＝4×2＝8.7．D 点拨：由题意知，AB＝AC，AE＝AF，BE＝DE，CF＝DF，BD＝CD，所以所有的三角形都是等腰三角形，共有5个，故选D.8．C 点拨：如图，共有8个格点．注意3和8也是，故选C.9．D 点拨：因为AB＝BD，所以∠B＝180°－2∠1，∠C＝∠1－∠2.因为AB＝AC，所以∠B＝∠C.所以180°－2∠1＝∠1－∠2，整理得180°＋∠2＝3∠1，故选D.10．1.4cm 点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，所以BD＝2AD.所以BC＝3DC＝3AD＝4.2(cm)．所以AD＝1.4cm.11．20° 点拨：运用一个外角等于和它不相邻的内角，及等腰三角形两底角相等可求出∠FED＝20°.12．(1)证明：∵BE＝CF，∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE.又∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△ABF≌△DCE(AAS)．∴AB＝DC.(2)解：△OEF为等腰三角形，理由如下：∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB＝∠DEC.∴OE＝OF.∴△OEF为等腰三角形．13．解：如图，过P作PE⊥OB，垂足为E.∵∠AOP＝∠BOP＝15°，PD⊥OA，∴PD＝PE.∵PC∥OA，∴∠CPO＝∠AOP＝15°.∴∠BCP＝∠BOP＋∠CPO＝30°，在Rt△CPE中，∠BCP＝30°，∴PE＝.∴PD＝PE＝2.14．证明：如图，过A作AD⊥BC，垂足为D，∵AB＝AC，∴∠BAD＝.∵∠AEF＝∠AFE，∠BAC＝∠AEF＋∠AFE，∴∠EFA＝.∴∠EFA＝∠BAD.∴EF∥AD，∴EF⊥BC.15．证明：如图，延长CH、BA交于点E.∵CH⊥BD，BD是∠ABC的角平分线，∴∠CHB＝∠EHB＝90°，∠CBH＝∠EBH.又∵BH＝BH，∴△CBH≌△EBH.∴CH＝EH.∴CE＝2CH.∵∠ACB＝45°，∠CAB＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC.∴AC＝AB.∵∠CAB＝∠CAE＝90°，∴∠E＋∠ECA＝90°.∵CH⊥BD，∴∠E＋∠EBH＝90°.∴∠ECA＝∠EBH.∴△ECA≌△DBA.∴CE＝BD.∴BD＝2CH.16．解：(1)∵∠A＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝30°.∴∠A＝∠ABC.∴AC＝BC＝40(海里),40÷10＝4(小时)．答：船到达C点的时间是15时30分．(2)在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝×40＝20(海里),20÷10＝2(小时)．答：该船在17时30分到达D处．