渝北中学2023-2024学年高三12月月考质量监测数学参考答案单项选择题题号12345678答案CBDCDCBA8.解：函数的定义域为，由，得，所以，令，由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，由，得，所以当时，递增，当时，递减，所以，没有最小值，由，得，当时，在上递增，在上递减，所以有最大值，无最小值，不合题意，当时，在上递减，在上递增，所以，所以即，所以，即的取值范围为．故选A.多项选择题题号9101112答案ADACACDBC12．解：因为为偶函数，则，两边求导得，所以为奇函数，因为，，所以，故，所以，即的周期且，则，故A错误；在，中，令，可得，所以，故B正确；由，令，可得，则，则，即，所以，故D错误；在中，令得，，在中，令得，，两式相加得，即，故C正确.故选：BC.三、填空题13．14.1515．16．解：平面内动点P满足，所以点P的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，因为，由勾股定理可得：，所以，且，所以，所以，，，，又向量是长度为的一个向量，由此可得，点P在圆上运动，当与共线反向时，取最小值，且这个最小值为，故的最小值为.四、解答题17．解：（1）由，得，又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，即，即，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列；（2）由（1）得，当为偶数时，；当为奇数时，；综上所述，；18.解：（1）∵，根据正弦定理得，，即，所以，因为，所以，所以，因为，所以．因为，，，根据余弦定理得，∴．∵，∴．在中，由正弦定理知，，∴，∴，，所以，19．解：（1）记事件“第一项测试选择了项目A”，“第一项测试选择了项目”，“第一项测试选择了项目”，记事件“第一项测试通过”，由题意知，，，又事件互斥，则，即，即居民甲第一项测试“通过”的概率是.（2）由居民乙获一等奖的概率为，可知.则.令，当时，；当时，.所以在区间上是减函数，在区间上是增函数.所以.所以的最小值为.20．（1）证明：设，交于点O，连接，，，因为，，，所以，所以，又因为O为正方形的对角线交点，即O是线段的中点，所以，又因为四边形为正方形，所以，又因为，平面，所以平面．（2）解：  ∵底面是正方形，，∴，，又，，∴为等边三角形，∵O为中点，∴，又，平面，∴平面，∴，，两两互相垂直，以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，∴，，，所以，，设平面的法向量，则，即，令，则，，∴，取平面的法向量，设平面与平面所成夹角为，则，所以二面角的余弦值为．21．解：（1）双曲线的焦点为，，则，即，又点在椭圆上，则，解得，，所以椭圆的方程为.（2）由题意，设直线的方程为，则，设，，则，直线的方程为：，令，得点的横坐标为，联立，整理得，则，解得或，，，则，从而，当且仅当，即时等号成立，所以的取值范围为.（1）解：∵，∴，，∴曲线在点处的切线方程为.（2）证明：由存在两个正实数根，整理得方程存在两个正实数根.由，知，令，则，当时，，在上单调递增;当时，，在上单调递减.所以.因为有两个零点，即，得.因为实数是的两个根，所以，从而.令，，则，变形整理得.要证，则只需证，即只要证，结合对数函数的图象可知，只需要证，两点连线的斜率要比，两点连线的斜率小即可.因为，所以只要证，整理得.令，则，所以在上单调递减，即，