商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷（理科）考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2.请将各题答案填写在答题卡上。3.本试卷主要考试内容：高考全部内容。第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x²−x−6≤0}，B={−3，−2，0，2，3}，则A∩B=（）A.{−3，−2，0，2}B.{−2，0}C.{−2，0，2，3}D.{0，2}2.复数z=1+2i4+3i在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知a=0.91.1，b=log1213，c=log132，则（）A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3a=4b，A=2B，则cosB=（）A.13B.23C.38D.345.根据国家统计局发布的数据，我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速如图所示，则下列说法错误的是（）A.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为18.4%B.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为6.55%C.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为14.9%D.我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为8.125%6.将一个底面半径为3，高为4的圆柱形铁块熔化为铁水，恰好制成一个实心铁球，则该实心铁球的半径是（）A.2B.3C.4D.67.已知sinα+5π2=3sinα−π，则tan2α=（）A.34B.−34C.43D.-438.已知抛物线C.y²=6x，过点A（4，2）的直线l与抛物线C交于M，N两点，若MA=AN，则直线l的斜率是（）A.23B.34C.43D.329.在正四面体ABCD中，E，F是棱BC，AB的中点，则异面直线DE与CF所成角的余弦值是（）A.55B.255C.16D.35610.已知函数.fx=2x−1eˣ−x²−ax在R上单调递增，则a的最大值是（）A.0B.16C.eD.311.已知A，B是直线y=32与函数fx=sinωx+π6（ω>0）图象的两个相邻交点，若|AB|=π6，则ω=（）A.4B.4或8C.2D.2或1012.已知函数f（x）=|log₂|x||，x∈（−1，0）∪（0，4].若关于x的方程f（x）=a有3个实数解x₁，x₂，x₃，且.x₁0，b>0）的右焦点F₂作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，且C的左顶点为B，|AB|=2aba2+b2，则C的离心率为.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.（12分）在等差数列{an}中，a₂+a₅=12，a₆=11.（1）求{an}的通项公式;（2）若bn=2an，求数列{bₙ}的前n项和Sₙ.18.（12分）镇安大板栗又称中国甘栗、东方珍珠，以味道甜脆，甘美可口，老幼皆宜，营养丰富而著称于世.现从某板栗园里随机抽取部分板栗进行称重（单位：克），将得到的数据按[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]分成五组，绘制的频率分布直方图如图所示.（1）请估计该板栗园的板栗质量的中位数；（2）现采用分层抽样的方法从质量在[40，50）和[70，80]内的板栗中抽取10颗，再从这10颗板栗中随机抽取4颗，记抽取到的特等板栗（质量≥70克）的个数为X，求X的分布列与数学期望.19.（12分）如图，在三棱柱ABC−A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，且D为棱AB的中点.（1）证明:AB⊥平面CC₁D.（2）若2AA₁=3AB，求平面A₁CD与平面ABC₁所成锐二面角的余弦值.20.（12分）已知函数fx=sinx+x².（1）求曲线y=fx在点（0，f（0））处的切线方程;（2）证明:fx>−51621.（12分）已知点F₁−10，F₂10，动点M满足|MF₁|+|MF₂|=4，动点M的轨迹记为E.（1）求E的方程.（2）若不垂直于x轴的直线l过点.F₂，与E交于C，D两点（点C在x轴的上方），A₁，A₂分别为E在x轴上的左、右顶点，设直线A₁C的斜率为k₁k₁≠0，直线A₂D的斜率为k₂，试问k1k2是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生从第22，23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一个题目计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{y=3sinαx=1+3cosα，（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程是ρcosθ+3ρsinθ−8=0.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知直线l1:θ=π3，在第一象限内，直线l₁与曲线C交于点A，与直线l交于点B，求|AB|的值.23.[选修4-5:不等式选讲]（10分）已知函数fx=|x−2|.（1）求不等式fx≥2x−5的解集；（2）若fx≥3−|x+a||恒成立，求a的取值范围.商洛市2024届高三第一次模拟检测数学试卷参考答案（理科）1．C由题意可得，则．2．A因为，所以复数在复平面内对应的点为，该点位于第一象限．3．D因为，所以．4．B因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以，则．5．C我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速从小到大依次为，．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速最高为，A正确．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的中位数为，B正确．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的极差为，C错误．我国今年3月份至10月份社会消费品零售总额同比增速的平均值为，D正确．6．B设该实心铁球的半径为，则，解得．7．B因为，所以，所以，则．8．D设，则，故直线的斜率．9．C如图，取线段的中点，连接．易证，则是异面直线与所成的角或其补角．设，则，从而．在中，由余弦定理可得．10．A由题意可得．因为在上单调递增，所以恒成立，即恒成立．设，则．当时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，故，即．11．D设的最小正周期为，则或，即或，解得或．12．C作出的大致图象，如图所示．由图可知，则．因为，所以．设函数，则．当时，，当时，，所以，即的最小值是13．13．因为，所以．因为，所以，则，故向量的夹角是．14．展开式的通项．令，得，则．15．这六支队伍按排名先后，共有种情况，其中甲、乙这两支队伍排在前3位的情况共有种，故所求概率．16．2设为坐标原点，的焦距为．过点作垂直于轴，垂足为（图略）．易得，则由，得，所以，得，所以，故．17．解：（1）设数列的公差为，由题意可得解得．故．（2）由（1）可得，则，从而．因为，所以是首项为2，公比为4的等比数列．由等比数列的前项和公式可得．18．（1）解：因为，所以该板栗园的板栗质量的中位数在内．设该板栗园的板栗质量的中位数为，则，解得，即该板栗园的板栗质量的中位数约为57.5．（2）由题意可知采用分层抽样的方法从质量在内的板栗中抽取颗，从质量在内的板栗中抽取颗．的所有可能取值为．，，．从而的分布列为01234故．19．（1）证明：由三棱柱的性质可知．因为平面，所以平面．因为平面，所以．因为为的中点，且是等边三角形，所以．因为平面，且，所以平面．（2）解：取的中点，连接．易证两两垂直，故以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设，则，故．设平面的法向量为，则令，得．设平面的法向量为，则令，得．设平面与平面所成的锐二面角为，则，即平面与平面所成锐二面角的余弦值为．20．（1）解：．故曲线在点处的切线方程为．（2）证明：由（1）得．令函数，则，所以是增函数．，所以存在，使得，即．所以当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．．因为，所以，所以．故．21．解：（1）因为，所以是以为焦点，且长轴长为4的椭圆．设的方程为，则，可得．又，所以，所以的方程为．（2）设直线．联立消去得．易知，且．由，得．（方法一）因为所以，所以，所以为定值，且定值为．（方法二）因为，所以，所以为定值，且定值为．22．解：（1）由（为参数），得，即，则曲线的极坐标方程为．（2）联立解得或（舍去）．联立解得．故．23．解：（1）等价于或解得，即不等式的解集为．（2）恒成立，即恒成立．因为，所以，解得或，即的取值范围是．