乌鲁木齐市实验学校2023-2024学年高三上学期1月月考数学试题总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（8小题每题5分共40分）1．已知复数z满足zi1i，则在复平面内，复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A1,2,4，B1,x，若BA，则xA．1B．2C．2或4D．1或2或43．某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍．为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为( )A．9B．18C．27D．3654．若函数f(x)是周期为2的偶函数，当0x1时f(x)2x(1x)，则f()=( )21111A．B．C．D．224422y5．已知椭圆C1：与双曲线C2：x1有公共的焦点，4C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A、B两点，C1恰好将线段AB三等分，则A．B．C．D．6．若函数在区间(0,)上单调递减，则实数的取值范围是A．[2,)B．[1,)C．(,2]D．(,1]35π7．若sin，3π，则tancos（）52221010310310A．3B．3C．3D．310101010nS8．已知等比数列an的前项和为n，则下列判断一定正确的是（）A．若S30，则a20220B．若S30，则a2022011C．若a2a1，则a2023a2022D．若，则a2023a2022a2a1二、多选题（共4小题每题五分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．如图1，在ABC中，ACB90，AC23，CB2，DE是ABC的中位线，沿DE将VADE进行翻折，连接AB，AC得到四棱锥ABCED（如图2），点F为AB的中点，在翻折过程中下列结论正确的是（）A．当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积3为33π23B．四棱锥ABCED的体积的最大值为23C．若三角形ACE为正三角形，则点F到平面ACD的距离为23D．若异面直线AC与BD所成角的余弦值为，则A、C两点间的距离4为2310．设抛物线y22pxp0的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到2,t时，PF4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M4,1，则下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为y24xB．PMPF的最小值为6C．若线段AB中点的纵坐标为4，则直线l的斜率为2D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切11．下列四个命题是真命题的是（）A．若函数fx的定义域为2,2，则函数fx1的定义域为3,17B．函数yxx2的值域为,4C．若函数yx2mx4的两个零点都在区间为1,内，则实数m的取值范围为5,4x2ax5,x1D．已知fxa在,上是增函数，则实数a的取值范,x1x围是3,2112．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是1，42从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）1A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有一个红球的概率为18237C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为88三、填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）r13．已知向量b为单位向量，向量a1,1，且a2b6，则向量a、b的夹角为.14．已知正四棱台的上底边长为4，下底边长为8，侧棱长为17，则其体积为.2215．已知圆xy8内有一点P1,2，AB为过点P且倾斜角为135的弦，则AB．k16．集合Axxsin,kZ的子集的个数是．3四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17．如图，在△ABC中，ABAC，ABAC4，点E，F是线段BC（含端点）上的动点，且点F在点E的右下方，在运动的过程中，始终保持EAF4不变，设EAB．(1)写出的取值范围，并分别求线段AE，AF关于的函数关系式；(2)求△EAF面积S的最小值．*18．已知数列an的前n项和Sn，对于nN，都满足Sn1SnSn1Sn0(n2)，且a11．(1)求Sn；Sn(2)若b，求数列bn的前n项和Tn．nn219．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段40,50，50,60…90,100后，画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求第四小组的频率，补全频率分布直方图，并估计该校学生的数学成绩的中位数.（2）从被抽取的数学成绩是70分以上（包括70分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率.（3）假设从全市参加高一年级期末考试的学生中，任意抽取4个学生，设这四个学生中数学成绩为80分以上（包括80分）的人数为X（以该校学生的成绩的频率估计概率），求X的分布列和数学期望.20．如图，在四棱台ABCDA1B1C1D1中，底面为矩形，平面AA1D1D⊥平面1C1CDD1，且CCCDDDCD2.11211(1)证明:A1D1面CC1D1Dπ(2)若A1C与平面CC1D1D所成角为，求锐二面角CAA1D的余弦值.322xy121．已知椭圆C:1的上顶点到右顶点的距离为7，离心率为，过a2b22椭圆左焦点F1作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M，N两点，直线m的方程为：x2a，过点M作ME垂直于直线m交直线m于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点，求OEN面积的最大值．22．函数fxexxa，aR.(1)求函数yfx的单调区间及极值；(2)若x1,x2是函数yfx的两个不同零点，求证：①x1x20；②x1x221a.月考答案解析：1．B【分析】根据等式化简出z，即可得到z，则可选出答案.【详解】因为zi1i.1i所以z1i.i所以z1i，其在复平面对应的点为(1,1)在第二象限.故选：B.2．C【详解】试题分析：∵集合A1,2,4，B1,x，BA，∴x2或x4才能满足集合的互异性.故选C.考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.3．B【详解】试题分析：根据条件中职工总数和青年职工人数，以及中年和老年职工的关系列出方程，解出老年职工的人数，根据青年职工在样本中的个数，算出每个个体被抽到的概率，用概率乘以老年职工的个数，得到结果．设老年职工有x人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，则中年职工有2x，∵x+2x+160=430，∴x=90，即由比例可得该单位老年职工共有90人，∵在抽取的321样本中有青年职工32人，∴每个个体被抽到的概率是16051用分层抽样的比例应抽取×90=18人．故选B．5考点：分层抽样点评：本题是一个分层抽样问题，容易出错的是不理解分层抽样的含义或与其它混淆．抽样方法是数学中的一个小知识点，但一般不难，故也是一个重要的得分学科网（北京）股份有限公司点，不容错过4．B5【分析】根据函数周期性与奇偶性，将转化到0,1范围内，再代入解析式即2可.【详解】因为函数fx是周期为2的偶函数，且当0x1时，fx2x1x，5511111则f（f）（f2）（f）21，2222222故选:B．5．C【详解】由题意，C2的焦点为(0,5)，一条渐近线方程为y=2x，根据对称性易22AB为圆的直径且AB=2a,∴C1的半焦距c5，于是得a-b=5①.222ab设C1与y=2x在第一象限的交点的坐标为（x，2x），代入C1的方程得：xb24a2②，2a由对称性知直线y=2x被C截得的弦长=25x由题得：25x，13a所以x③,由②③得a2=11b2④,由①④得a2=5.5，b2=0.5.故选C356．C【详解】试题分析：由题意，知f(x)ex(sinxcosxa)0在区间(0,)上恒成立，5即a2sin(x)在区间(0,)上恒成立．因为x(,)，所以44442sin(x)(,1]，所以2sin(x)[2,1)，所以a2，故选C．424考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、两角和的正弦公式；3、正弦函数的图象与性质．7．B【分析】利用同角三角函数的基本关系与半角公式求解即可35π【详解】因为sin，3π，524所以cos1sin2，55π3π因为，422所以sin0，cos0，221cos310所以sin，22101cos10cos，2210sin所以tan23，2cos210则tancos3，2210故选：B.8．D【分析】根据已知条件及取等比数列进行验证，利用等比数列的性质即可求解.n1S0【详解】对于A，等比数列a11,a22,a34,,an2,满足3，但是a20220，故A错误；n3n1S0对于B，等比数列a14,a22,a31,,an1,满足3，但是2a20220，故B错误，学科网（北京）股份有限公司n3n1aa对于C，等比数列a14,a22,a31,,an1,满足21，但是2a20230a2022，故C错误，11111对于D，若a10，由10q1，所以等比数列an为递a2a1a1qa1q减数列，故a2023a2022正确；11111若a10，由1q0或q1，当q1时，等比数列an为递a2a1a1qa1q减数列，故a2023a2022正确；当q0时，偶数项为正，奇数项为负，故a2023a2022正确；故D正确.故选：D.9．AB【分析】根据圆锥的表面积公式即可判断A,由锐角三角函数结合锥体的体积公式可表达出体积关系式,结合三角函数的性质即可判断B,根据长度关系可得垂直以及平行，结合等面积法得DGh1DFFG即可求解C,由线线角的几何法求解，结合余弦定理即可判断D.【详解】由题意，在ABC中，ACB90，AC23，CB2，DE是ABC的中位线，BC311∴tanA，DEBC1，AECEAC3，AC23AC32211∴A30，ADBDAB2BC2，22对于A项，当点A与点C重合时，三角形ADE翻折旋转所得的几何体为底面半径为EC3，高为DE1的半个圆锥，∴三角形ADE翻折旋转所得的几何体的表面积为：221211213SπrlπrACDEπ313π323133π22222，故A正确；对于B项，设AEC，则0,π，设点A到CE的距离为h，则hAEsin3sin，∴四棱锥ABCED的体积为：11BCDECE11233VShh3sinsin，ABCDE3BCDE3232233在ysin中，y0,1，∴VABCDEsin0，，223∴四棱锥ABCED的体积的最大值为，故B正确；2对于C，D项，当三角形ACE为正三角形时，AEC60，ACAECE3，取AC中点为G,BC的中点H，连接FH，EH，EG连接DG，在△ABD中，ADBD，点F为AB的中点，1由于F,G分别是A