2024年1月“七省联考”押题预测卷02数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，即.故选：C2．已知复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知复数在复平面内对应点的坐标为，则，所以.故选：A.3．展开式中项的系数为（）A. B. C.20 D.240【答案】D【解析】展开式通项由，可得，则，则展开式中项的系数为240.故选：D4．函数的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】根据题意，对于函数，有函数，即函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除A､B；当时，，则恒有，排除D；故选：C.5．中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和，若，，则正四棱台的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为是正四棱台，，，侧面以及对角面为等腰梯形，故，，，所以，所以该四棱台的体积为，故选：B.6．公元9世纪，阿拉伯计算家哈巴什首先提出正割和余割概念，1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割和余割，在某直角三角形中，一个锐角的斜边与其邻边的比，叫做该锐角的正割，用sec（角）表示；锐角的斜边与其对边的比，叫做该锐角的余割，用csc（角）表示，则（）A. B. C.4 D.8【答案】C【解析】依题意，角可视为某直角三角形的内角，由锐角三角函数定义及已知得，所以.故选：C7．已知奇函数在上可导，其导函数为，且恒成立，则（）A.1 B. C.0 D.【答案】B【解析】设，则为R上可导的奇函数，，由题意得，得，所以，，又，即，所以，等式两边对x求导，得，令，，所以.由，两边对x求导，，所以的周期为4，所以，因为，所以，所以.故选：B8．如图，已知双曲线的左､右焦点分别为，，过的直线与分别在第一､二象限交于两点，内切圆半径为，若，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，内切圆圆心为，内切圆在上的切点分别为，则，由及双曲线的定义可知，，故四边形是正方形，得，于是，故，所以，于，在中，由余弦定理可得，从而，所以.故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．2023年10月3日第19届杭州亚运会跳水女子10米跳台迎来决赛，中国“梦之队”包揽了该项目的冠亚军.已知某次跳水比赛中运动员五轮的成绩互不相等，记为，平均数为，若随机删去其任一轮的成绩，得到一组新数据，记为，平均数为，下面说法正确的是（）A.新数据的极差可能等于原数据的极差B.新数据的中位数可能等于原数据的中位数C.若，则新数据的方差一定大于原数据方差D.若，则新数据的第40百分位数一定大于原数据的第40百分位数【答案】ABC【解析】对于A中，若随机删去任一轮的成绩，恰好不是最高成绩和最低成绩，此时新数据的极差可能等于原数据的极差，所以A正确；对于B中，不妨假设，当时，若随机删去的成绩是，此时新数据的中位数等于原数据的中位数，所以B正确；对于C中，若，即删去的数据恰为平均数，根据方差的计算公式，分子不变，分母变小，所以方差会变大，所以C正确；对于D中，若，即删去的数据恰为平均数，在按从小到大的顺序排列的5个数据中，因为，此时原数据的分位数为第二数和第三个数的平均数；删去一个数据后的4个数据，从小到大的顺序排列，可得，此时新数据的分位数为第二个数，显然新数据的分位数小于原数据的分位数，所以D错误.故选：ABC.10．已知函数的部分图象如图所示．则（）A.的图象关于中心对称B.在区间上单调递增C.函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D.将函数图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象【答案】ABD【解析】由图象可知，，解得，又，所以，即，结合，可知，所以函数的表达式为，对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确；对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确；对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误；对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确.故选：ABD.11．已知是圆上一点，是圆上一点，则（）A.的最小值为2B.圆与圆有4条公切线C.当取得最小值时，点的坐标为D.当时，点到直线的距离小于2【答案】AB【解析】的圆心，半径，圆的圆心，半径，则，圆与圆外离，因此的最小值为，圆与圆有4条公切线，AB正确；直线的方程为，代入，得，当取得最小值时，为线段与圆的交点，因此点的坐标为，C错误；过点作圆的切线，切点为，则，当为线段的延长线与圆的交点，且点与重合时，，此时点到直线的距离等于，D错误.故选：AB12．已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（）A.正四面体的外接球表面积为B.正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值C.正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为D.正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为【答案】ABD【解析】A.棱长为2的正四面体的外接球与棱长为的正方体的外接球半径相同，设为R，则：，所以，所以A对.B.设正四面体内任意一点到四个面的距离分别为，，，，设正四面体的高为d，由等体积法可得：，所以为定值，所以B对.C.设中点为D，连接，，则，则为所求二面角的平面角，，所以，所以正弦值为，所以C错.D.要使正四面体在四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的外接球在四面体内切球内部，当正四面体的外接球恰好为四面体内切球时，正四面体的体积最大值，由于正四面体的外接球与内切球半径之比为，所以正四面体的外接球半径为，设正四面体的边长为a，则，所以，故体积，所以D对.故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列前3项和，，，成等比数列，则数列的公差_______________．【答案】或【解析】由，可知，即，又，，成等比数列，所以，即，解得或，故答案为：或214.已知向量，满足，且，则向量在向量上的投影向量为________．【答案】【解析】由，得，又，所以，所以向量在向量上的投影向量为，故答案为：15.正三棱台中，，，点，分别为棱，的中点，若过点，，作截面，则截面与上底面的交线长为________．【答案】【解析】连接并延长交的延长线于点，连接交于点，连接，如图，则线段即为截面与上底面的交线，因为F为的中点，，所以过点E作的平行线交于点，因为，，所以，在中，.故答案为：16．已知函数的最小值为0，则a的值为________.【答案】##0.5【解析】由，且，令，则，即在上递增，所以在上递增，又，，，，所以，使，且时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以由，得，令函数，，所以在上是增函数，注意到，所以，所以.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知正项数列的前项和为，且满足，.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前和.【答案】（1），（2）【解析】（1）由得，则，解得，当时，，所以，整理得，因为是正项数列，所以，所以，所以是首项为1，公差为2的等差数列，所以，.（2）由（1）可得，，所以，所以.18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）若，求的最大值．【答案】（1）（2）2【解析】（1）因为，所以，所以，，因为，，所以（舍），或，所以．（2）要使不等式恒成立，只需要即可，由（1）可知，，∴由正弦定理得，，因为，所以A，B都为锐角，又因为，所以．所以时，由对勾函数的性质知，在上单调递减，当时，取得最小值为，由，得即．所以的最大值为2．19．如图，底面ABCD是边长为2的菱形，，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成的角为.（1）求证：平面平面BDE；（2）求二面角B-EF-D的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）∵平面ABCD，平面ABCD.∴.又∵底面ABCD是菱形，∴.∵，∴平面BDE，设AC，BD交于O，取BE的中点G，连FG，OG，，，四边形OCFG是平行四边形，平面BDE∴平面BDE，又因平面BEF，∴平面平面BDE.（2）以O为坐标原点，OA，OB，OG所在直线分别为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系∵BE与平面ABCD所成的角为，，，，，，.，设平面BEF法向量为，，，设平面的法向量设二面角的大小为..20．“村BA”后，贵州“村超”又火出圈!所谓“村超”，其实是目前火爆全网的贵州乡村体育赛事一一榕江（三宝侗寨）和美乡村足球超级联赛，被大家简称为“村超”.“村超”的民族风､乡土味､欢乐感，让每个人尽情享受着足球带来的快乐.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男､女同学各50名进行调查，部分数据如表所示：喜欢足球不喜欢足球合计男生20女生15合计100附：.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828（1）根据所给数据完成上表，依据的独立性检验，能否有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关？（2）社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范定点射门.据统计，这两名男生进球的概率均为，这名女生进球的概率为，每人射门一次，假设各人进球相互独立，求3人进球总次数的分布列和数学期望.【答案】（1）有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关（2）分布列见解析，【解析】（1）依题意，列联表如下：喜欢足球不喜欢足球合计男生302050女生153550合计4555100零假设：该中学学生喜欢足球与性别无关，的观测值为，，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，所以有的把握认为该中学学生喜欢足球与性别有关.（2）依题意，的所有可能取值为，，所以的分布列为：0123数学期.21．已知函数，.（1）求的单调区间；（2）当时，与有公切线，求实数的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】（1）由函数，可得，当时，可得时，，单调递减，时，，单调递增；当时，可得时，，单调递增，时，，单调递减.（2）解：设公切线与和的切点分别为，可得，可得切线方程为，即，即由，可得，则，所以切线方程为所以，可得，设，可得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，当时，函数取得极大值，极大值为，又由当时，；当时，，所以，所以时，即实数取值范围为.22．已知椭圆T：，其上焦点F与抛物线K：的焦点重合.（1）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，同时交抛物线K于点C、D（如图1所示，点C在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试证明：线段AC大于BD长度的大小；（2）若过点F的直线交椭圆T于点A、B，过点F与直线AB垂直的直线EG交抛物线K于点E、G（如图2所示），试求四边形AEBG面积的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）由题意得过点的直线的斜率存在，设直线方程为，设，，，，联立，消去得：，则，，所以.抛物线的方程为：，联立，消去得：，则，所以，所以，即.（2）设，，，，当直线的斜率存在且不为零时，设直线方