2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学数学测试卷共4页，满分150分。考试时间120分钟。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。．已知集合，，，，，2，则1A{12345}B{x|2x11x120}AB．，．，．，．，A{12}B{23}C{34}D{45}2．已知复数zabi，若ziz，则A．ab0B．ab0C．ab0D．ab13．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则a，b可以分别大致反映这组数据的A．平均数，中位数B．平均数，众数C．中位数，平均数D．中位数，众数ab4．若4cos2sin(2)2，则tan21A．2B．C．1D．225．在经济学中，常用Logistic回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic模型：e0.970.127xP()x，其中x是客户年收入（单位：万元），P()x是按时还款概率的预测值．如果某人年1e0.970.127x收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3）A．0.35B．0.46C．0.57D．0.686．已知f(x)ln(1x)ln(abx)是奇函数，则f()x在点(0，f(0))处的切线方程为A．y2xB．yxC．y0D．y2x7．将一副三角板拼接成平面四边形ABCD（如图），BC1，将其沿BD折起，使得面ABD面BCD，若D三棱锥ABCD的顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为7A．2B．C3845C．D．3603AB8．已知函数f()x满足f(xy)f(x)f(y)2，f(1)4且当x0时，f(x)2，若存在x[1，2]，使得f(ax24x)f(2x)1，则a的取值范围是第一次联合诊断检测（数学）第1页共9页{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}1155212A．(0，]B．[，]C．[，]D．[，]2288323二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．下列函数中，其图象关于点(，0)对称的是6A．ysin(2x)B．ysin(2x)33C．ycos(2x)D．ytan(2x)6622222210．已知椭圆E1：x4ya(a0)和E2：y4x4a(a0)，则A．E1与E2的长轴长相等B．E1的长轴长与E2的短轴长相等．与的离心率相等．与有个公共点CE1E2DE1E2411．已知三棱柱ABCA1B1C1，DEF，，分别是棱AB，，BCCA的中点，记三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，则1A．棱锥ADEF的体积为V1241B．棱锥AADEF的体积为V165C．多面体ABABEF的体积为V11122D．多面体ABCDEF的体积为V111312．若不相等的两个正数a，b满足a2b2abab，则4A．ab1B．ab311C．abD．ab32三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有编号为1，2的黑球和编号为1，2，3的白球，从中随机取出两个球，在取出的球颜色不同的条件下，球的编号之和为奇数的概率为．14．若向量a，b满足|a|1，|b|2，若b与a的夹角为锐角，则a()ab的取值范围是．15．记数列an的前n项和为Sn，若Sn2an，且S6252，则．第一次联合诊断检测（数学）第2页共9页{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}22216．已知FF1，2分别是双曲线C：xya(a0)的左、右焦点，过F2作一直线交C于MN，两点，若MF2F1120，且△MNF1的周长为1，则C的焦距为．四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）已知数列{}an是等差数列，且a51，a8a102．（1）求{}an的通项公式；[]an（2）[]x表示不超过x的最大整数，如[1.7][1]1，[1.5][2]2．若bn2，Tn是数列{}bn的前n项和，求[]T11．18．（12分）2024年1月18日是中国传统的“腊八节”，“腊八”是中国农历十二月初八（即腊月初八）这一天．腊八节起源于古代祭祀祖先和神灵的仪式，后逐渐成为民间节日，盛行于中国北方．为调查不同年龄人群对“腊八节”民俗文化的了解情况，某机构抽样调查了某市的部分人群．（1）在100名受调人群中，得到如下数据：了解程度年龄不了解了解30岁以下162450岁以上1644根据小概率值0.1的2独立性检验，分析受调群体中对“腊八节”民俗的了解程度是否存在年龄差异；（2）调查问卷共设置10个题目，选择题、填空题各5个．受调者只需回答8个题：其中选择题必须全部回答，填空题随机抽取3个进行问答．某位受调者选择题每题答对的概率为0.8，知道其中3个填空题的答案，但不知道另外2个的答案．求该受调者答对题目数量的期望．n()adbc2参考公式：①2=．(ab)(cd)(ac)(bd)独立性检验常用小概率值和相应临界值：0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828第一次联合诊断检测（数学）第3页共9页{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}②随机变量，的期望满足：XYEXYEXEY()()()19．（12分）a2sinBsinC在△ABC中，内角ABC，，的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积S．cosA（1）求tanA；5（2）若cosBCcos，a1，求b2c2．520．（12分）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB2，BC2，BAD45，PAPD．P（1）证明：PBBC；（2）若PA3，PC13，求二面角APBC的余弦值．DCAB21．（12分）已知，，，是抛物线：2上的三点，且直线与直线的斜率之和为．A(22)BCEx2pyABAC0（）求直线的斜率；1BC（2）若直线AB，AC均与圆M：x2(y2)2r2(0r3)相切，且直线BC被圆M截得的线段230长为，求r的值．522．（12分）已知函数f(x)ex(1a)xlnax．（e为自然对数的底数）（1）当a1时，证明f()x存在唯一的极小值点x0，且f(x0)2；（2）若函数f()x存在两个零点，记较小的零点为x1，s是关于x的方程ln(1x)cosxax12的根，证明：sx1．第一次联合诊断检测（数学）第4页共9页{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学参考答案一、单选题1～8BAADCACD8题解析：易证f()x是增函数，f(ax24)xf(2)xf[(ax24)2]2xxf(ax22x)21，所以f(ax22x)1．令xy0，得f(0)2；令x1，y1，得f(1)0；令x1，y1，33得f(2)2；令x2，y1，得f(3)4；令xy，得f()1，所以2234x311ax22x．原问题即2a在[1，2]有解．令t，则2a3t24t在t[，1]时有2x2x2412解，从而2a[1，]，a[，]．323二、多选题9．BCD10．BC11．BC12．ABD12题解析：由a2b2abab，得()()ab2abab．因为a，b是正数，所以ab0，从而()ab2(ab)2(ab)0，解得ab1．因为ab，所以ab，4()ab244从而()()ab2ab，解得ab．因为1ab，43341所以ab(ab)2(ab)(0，)，从而ab．故选ABD．92三、填空题1213．14．(1，3)15．416．26c16题解析：设双曲线的焦距为2c，点M()x，y，N()x，y，则|MN||MF||NF|(xx)2a112222a122222(x1x2)2a．由题意，直线MN的方程为y3(xc)，代入xya得222x62ax7a0，所以x1x232a，从而|MN|4a．△MNF1的周长为12|MF||NF||MN|4a2|MN|12a，由题意，a．所以焦距2c22a．11126第一次联合诊断检测（数学）第5页共9页{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}四、解答题17．（10分）解：（1）设an的公差为d，由题意，得a14d1，2a116d2．117n所以a3，d，故a3(n1)．……5分12n22（2）由题意，[a1]3，[a2][a3]2，[a4][a5]1，……，[a10][a11]2．1Tbbbbbbb232(22222)23．111234510112所以[T11]23．……10分18．（12分）解：（）零假设：对“腊八节”民俗的了解程度与年龄相互独立．1H0100(16441624)2100由题意，得22.706．4060326851根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，0.1H0即认为对“腊八节”民俗的了解程度没有年龄差异．……5分（2）设选择题部分和填空题部分答对题目分别为X和Y．因为X服从B(5，0.8)，所以EX50.84．由题意，Y的可能取值为1，2，3．CC123CC213C3132，32，3．PY(1)3PY(2)3PY(3)3C510C55C510331所以EY231.8．10510该受调者答对题目数量的期望为E(XY)EXEY41.85.8个．……12分19．（12分）a2sinBsinC1解：（1）由题意，SabsinC，cosA21因为a0，sinC0，所以asinBbcosA．21由正弦定理，得sinABBAsinsincos，211因为sinB0，所以sinAAcos，故tanA．……5分2252525（2）由（1）得sinA，cosA，所以cos(BCA)cos，55555由cos(BCBCBC)coscossinsin，及cosBCcos，得sinBCsin．55第一次联合诊断检测（数学）第6页共9页{#{QQABKYaEgggAAhAAARgCQQXYCgOQkAGCACoOBFAIsAIAwQNABCA=}#}bca2由正弦定理，得，所以bc5．sinBCAsinsin2由余弦定理，得b2c2a22bccosA5．……12分20．（12分）P解：取AD中点O，连接OB，OP．（1）△PAD中，因为PAPD，所以OPAD．1△AOB中，因为AB2，AOBC1，BAD45，DC2O由余弦定理，得OB1，所以OB2AO2AB2，OBAD．AB因为OP，OB是平面BOP上的两条相交直线，所以AD平面BOP．因为PB平面BOP，所以ADPB．因为AD//BC，所以PBBC．……5分（