2023~2024学年高二年级上学期期末模拟测试数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分、第Ⅰ卷第1页至第3页，第Ⅱ卷第3页至第6页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑、如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．设全集，集合，，则（）1U{1,0,1,2,4}M{1,0,4}N{1,0,1}MðUNA．{1,0,2,4}B．{1,0,1,4}C．{0,1,2,4}D．{1,0,1,2,4}abib2．若复数（i为虚数单位，a，bR且b0）为纯虚数，则（）43ia4433A．B．C．D．33443．已知直线过点(4,2)与点(2,0)，则这条直线的倾斜角是（）23A．B．C．D．64344．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,4)，则cos2cos()（）2453545A．B．C．0D．5555．已知向量a与单位向量b的夹角为，且a3，则b在a方向上的投影向量为（）31111A．B．bC．aD．a22363a．已知数列中，且n*，则为（）6ana11an1nNa22an31111A．B．C．D．86320.91．设0.8，，，则，，的大小关系为（）7a3bclog0.80.9abc3A．abcB．bacC．bcaD．cabx2y28．已知双曲线1（a0，b0）的右焦点F与抛物线y28x的焦点重合，抛物线准线与一条a2b2渐近线交于点Am,23，则双曲线的方程为（）x2y2x2y2A．1B．1124412x2y2C．y21D．x2133二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．一条光线从点A(2,3)射出，经x轴反射后，与圆C:(x3)2(y2)21相切，则反射后光线所在直线的方程可能是（）A．3x4y10B．3x4y60C．4x3y60D．4x3y1010．如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2，点P为线段AD1上一动点，则下列说法正确的是（）A．直线PB1//平面BC1D1B．三棱锥PBCD的体积为13C．三棱锥D1BC1D外接球的表面积为62D．直线PB与平面BCCB所成角的正弦值的最大值为1113x2y211．设椭圆1的右焦点为F，直线ym0m3与椭圆交于A，B两点，则（）93A．|AF||BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]3C．当m时，△ABF为直角三角形D．当m1时，△ABF的面积为262f(x)12．若函数f(x)在定义域内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称函数f(x)在M上是x“弱增函数”，则下列说法正确的是（）A．若f(x)x2，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”1B．若f(x)x，则存在区间M使f(x)为“弱增函数”xC．若f(x)xx3，则f(x)为R上的“弱增函数”D．若f(x)x2(4a)xa在区间(0,2]上是“弱增函数”，则a4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在等比数列an中，a1a41，a3a63，则a9a12__________．14．函数f(x)sin(x)（0，0）的部分图象如图所示，若fxfx0，则212cosx1x2__________．15．过点P(4,1)作圆C:x2y22x4y40的切线PA，PB，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________．x2y216．F，F分别为双曲线1（a0，b0）左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，若12a2b2PF22的最小值为8a，则双曲线的离心率e的最大值是__________．PF1四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2Csin2Asin2BsinAsinB．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若a2，c23，求△ABC的面积．18．（本小题满分12分）已知等差数列an的前n项和为Sn，a12，S540．在正项等比数列bn中，b12，b2b312．（Ⅰ）求an与bn的通项公式；（Ⅱ）求数列anbn的前n项和Tn．19．（本小题满分12分）近年来，我国居民体重“超标”成规模增长趋势，其对人群的心血管安全构成威胁，国际上常用身体质量指体重(kg)数BMI衡量人体胖瘦程度是否健康，中国成人的BMI数值标准是：BMI18.5为偏瘦；身高2m218.5BMI23.9为正常；24BMI27.9为偏胖；BMI28为肥胖．下面是社区医院为了解居民体重现状，随机抽取了100名居民体检数据，将其BMI值分成以下五组：[12,16)，[16,20)，[20,24)，[24,28)，[28,32]，得到相应的频率分布直方图如图．（Ⅰ）根据频率分布直方图，求a的值，并估计该社区居民身体质量指数BMI的样本数据的80%分位数；（Ⅱ）现从样本中利用分层抽样的方法在[16,20)，[24,28)两组中抽取6名居民，再从这6人中随机抽取2人，求抽取到2人的BMI值不在同一组的概率．20．（本小题满分12分）如图，已知在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，点Q在棱PA上，且AQ3QP3，底面为直角梯形，CDABAD90，AB2，CD1，AD2，M，N分别是PD，PB的中点．（Ⅰ）求证：MQ//平面PCB；（Ⅱ）求直线BC与平面MCN所成角的正弦值．21．（本小题满分12分）如图，已知抛物线C:y22px(p0)，直线l:y2x4交抛物线C于A，B两点，AB的中点为M(3,2)．（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）记抛物线C上一点P(m,4)，直线PA的斜率为k1，直线PB的斜率为k2，求k1k2的值．22．（本小题满分12分）x2y2已知椭圆C:1(ab0)的短轴长为2，点P在椭圆C上，与两焦点围成的三角形面积的最大值a2b2为3．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）当P为椭圆C的右顶点时，直线l与椭圆C相交于M，N两点（异于P点），且PMPN．试判断直线l是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由．2023~2024学年高二年级上学期期末模拟测试数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案ABDCDADD【解析】．因为，，所以，所以，故选．1U{1,0,1,2,4}N{1,0,1}ðUN{2,4}MðUN{1,0,2,4}Aabi(abi)(43i)4a3b4b3a2．i为纯虚数，43i(43i)(43i)25254a3b0,b4则即4a3b0，故，故选B．4b3a0,a32033．直线过点(4,2)与点(2,0)，则直线的斜率为1，故这条直线的倾斜角是，故选D．4244．P(2,4)，r|OP|25（O为坐标原点），4221由三角函数的定义，得sin，cos，25525521cos2cos()sin2cos20，故选C．255a1115．b在a方向上的投影向量为bcosa,baa，故选D．a2363an1an3116．由an1得：，an3an13anan3111又1，数列是以1为首项，为公差的等差数列，a1an311n2311(n1)，an，a22，故选A．an33n280.9x00.80.917．因为函数y3在R上单调递增，所以3133，3又因为函数ylog0.8x在(0,)上单调递减，所以log0.80.9log0.80.81，0.91结合以上有00.80.9，所以，故选．log0.80.9log0.80.81333cabD3x2y28．由抛物线y28x的焦点为(2,0)，因为双曲线1与抛物线y28x的焦点重合，a2b2可得双曲线的右焦点为F(2,0)，即c2，可得a2b24，x2y2b又由双曲线1的一条渐近线方程为yx，抛物线的准线方程为x2，a2b2a因为抛物线准线与一条渐近线交于点Am,23，可得m2，2b即交点为A2,23，代入渐近线方程，可得23，可得b3a，ay2将b3a代入a2b24，可得a21，所以b23，所以双曲线的方程为x21，故选D．3二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案BDABCACBD【解析】9．如图，点A(2,3)关于x轴的对称点为(2,3)，则反射光线一定经过点(2,3)，由于C:(x3)2(y2)21的圆心为(3,2)，半径为1，若反射光线的斜率不存在，此时反射光线方程为x2，与圆C无交点，不满足题意．设反射光线的斜率为k，则可得出反射光线为y3k(x2)，即kxy2k30，|5k5|43因为反射光线与圆相切，则圆心(3,2)到反射光线的距离dr，即1，解得k或，k2134则反射直线的方程为3x4y60或4x3y10，故选BD．10．作辅助线如图，对于A，因为AD1//BC1，AB1//DC1，所以平面AB1D1//平面BC1D，PB1平面AB1D1，从而直线PB1//平面BC1D，故A正确；对于B，由A知，平面AB1D1//平面BC1D，P点在平面AB1D1，111所以VVV112，故B正确；PBC1DABC1DC1ABD323111对于C，三棱锥DBCD外接球的半径RAC1212226，11212221所以三棱锥外接球的表面积为2，故正确；D1BC1DS4R466C2对于D，因为当B1PAD1时，B1P最短，此时直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦值最大，223先用等面积法求BP，BP122212222，解得BP，1112515所以直线PB1与平面BCC1B1所成角的正弦的最大值为，故D错误，故选ABC．B1P311．设椭圆的左焦点为F，则AF|BF|，所以|AF||BF||AF|AF为定值6，故A正确；△ABF的周长为|AB||AF||BF|，因为|AF||BF|为定值6，易知AB的范围是(0,6)，所以△ABF的周长的范围是(6,12)，故B错误；3333333将与椭圆方程联立，可解得，，yA,B,222222