２０２４届高三年级质量监测考试 数学答案与解析１．【答案】Ｄ【解析】集合Ｍ＝{ｘ｜ｘ２－１≥０}＝{ｘ｜ｘ≥１或ｘ≤－１}，所以Ｍ∩Ｎ＝{ｘ｜１≤ｘ＜２}．故选：Ｄ．２．【答案】Ｃ－１－（２＋ｉ）２１【解析】由已知ｚ（２－ｉ）＝ｉ２＝－１，所以ｚ＝＝＝－－ｉ，２－ｉ（２－ｉ）（２＋ｉ）５５２１ｚ对应点坐标为（－，－），在第三象限，故选Ｃ．５５３．【答案】Ａ【解析】（法一）设ａ与ａ－ｂ夹角为θ．因为｜ｂ｜＝（ａ－ｂ）－ａ，得｜ｂ｜２＝（ａ－ｂ）－ａ２＝（ａ－ｂ）２－２（ａ－ｂ）·ａ＋ａ２＝｜ａ－ｂ｜２－２｜ａ－ｂ｜·｜ａ｜ｃｏｓθ＋｜ａ｜２＝１－４ｃｏｓθ＋４当ｃｏｓθ＝－１时，｜ｂ｜２最大值９，｜ｂ｜的最大值３，故选：Ａ．→→（法二）因为｜ａ｜＝２，如图设ａ＝ＯＡ，ｂ＝ＯＢ，由｜ａ－ｂ｜＝１知点Ｂ在以Ａ为圆心１为半径的圆上，当点Ｂ与Ｏ、Ａ在一条直线，位于图中Ｂ′位置时，｜ｂ｜的最大值３，故选：Ａ．４．【答案】Ｂ【解析】（法一）由题意{Ｓｎ＋２－Ｓｎ}为Ｓ３－Ｓ１，Ｓ４－Ｓ２，Ｓ５－Ｓ３，Ｓ６－Ｓ４，…，即ａ２＋ａ３，ａ３＋ａ４，ａ４＋ａ５，ａ５＋ａ６，…，{Ｓｎ＋２－Ｓｎ}（ｎ∈Ｎ）不是等比数列，则ａ２＋ａ３＝ａ３＋ａ４＝ａ４＋ａ５＝ａ５＋ａ６＝０，{ａｎ}为２，－２，２，－２，２，－２，…，则Ｓ２０２３＝２，故选：Ｂ．（法二）{ａｎ}为等比数列，ａ１＝２，设公比ｑ，当ｑ＝１时，ａｎ＝２，则Ｓｎ＋２－Ｓｎ＝４，{Ｓｎ＋２－Ｓｎ}为等比数列，不符合题意，ａ（１－ｑｎ）ａ（１－ｑｎ＋２）ａ（１－ｑｎ）ａｑｎ（１－ｑ２）当ｑ≠±１时，可得Ｓ＝１，则Ｓ－Ｓ＝１－１＝１，ｎ１－ｑｎ＋２ｎ１－ｑ１－ｑ１－ｑｎ＋１２ａ１ｑ（１－ｑ）Ｓｎ＋３－Ｓｎ＋１１－ｑ则＝ｎ２＝ｑＳｎ＋２－Ｓｎａ１ｑ（１－ｑ）１－ｑａｑｎ（１－ｑ２）{Ｓ－Ｓ}（ｎ∈Ｎ）不是等比数列，则Ｓ－Ｓ＝１＝０，则ｑ２＝１，ｑ＝－１，ｎ＋２ｎｎ＋２ｎ１－ｑ ２ ｎ∈Ｎ，ｎ为奇数则数列为ａｎ＝，则Ｓ２０２３＝２，故选：Ｂ．{－２ ｎ∈Ｎ，ｎ为偶数（法三）由题意知：Ｓｎ＋２－Ｓｎ＝ａｎ＋１＋ａｎ＋２＝ａｎ＋１（ｑ＋１），所以数列{ａｎ＋１（ｑ＋１）}不是等比数列，而ａｎ＋１≠０，所以ｑ＝－１，故Ｓ２０２３＝ａ２０２３＝２．【·高三年级质监考试———数学答案 第１页（共１０页）】{#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}书５．【答案】Ｂ３【解析】４种色彩设为１、２、３、４，正面相邻区域不能同色必定用三种颜色，则有Ａ４种不同方３法，对于Ａ４中的一种再考虑反面设计，如正面用三色为１、２、３，则反面颜色也可选１、２、３，但与正面不能同色，故对应为２、３、１和３、１、２两种．反面颜色也能选１、２、４，与正面１、２、３对应分别为２、１、４，２、４、１，４、１、２三种．同理反面颜色选１、３、４也为３种，反面选２、３、４也为３种，３则正面用三色为１、２、３，反面颜色对应有１１种，所以双面绣不同色彩设计方法共有Ａ４×１１＝２６４种．故选：Ｂ．６．【答案】Ｄ【解析】由题意可知点Ａ、Ｏ、Ｍ在一条直线上．由｜ＡＯ｜＝３｜ＯＭ｜，得｜ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜．（法一）过点Ａ作ＡＮ垂直与ｘ＝－１于点Ｎ，作ＢＤ⊥ＡＮ于点Ｄ，因为Ｃ：ｙ２＝４ｘ得ＡＦ＝ＡＮ＝３ｒ，ＢＦ＝ＢＭ＝ｒ，所以ＡＢ＝４ｒ，ＡＤ＝ＡＮ－ＢＭ＝２ｒ，则在Ｒｔ△ＡＢＤ中，∠ＤＡＢ＝６０°，则直线ｌ的斜率为槡３，故选：Ｄ．４（法二）设直线ｌ：ｙ＝ｋ（ｘ－１）与ｙ２＝４ｘ联立得ｙ２－ｙ－４＝０．ｋ４设Ａ（ｘ，ｙ），Ｂ（ｘ，ｙ），则ｙ＋ｙ＝，ｙｙ＝－４，１１２２１２ｋ１２由｜ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜得ｙ１＝－３ｙ２，４ｙ１＋ｙ２＝ｋ由，解得ｋ＝槡３，故选：Ｄ．ｙ１ｙ２＝－４ｙ１＝－３ｙ２（法三）设Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），２ｙ１＝４ｘ１①２２ｙ２＝４ｘ２９ｙ２＝３６ｘ２ ②①－②得（ｙ１－３ｙ２）（ｙ１＋３ｙ２）＝４（ｘ１－９ｘ２） ③→→由｜ＡＦ｜＝３｜ＦＢ｜得ＡＦ＝３ＦＢ，（１－ｘ１，－ｙ１）＝３（ｘ２－１，ｙ２），ｘ１＋３ｘ２＝４，ｙ１＋３ｙ２＝０．代入③得ｘ１－９ｘ２＝０，解得ｘ１＝３，ｙ１＝２槡３，则直线ＡＢ的斜率为槡３，故选：Ｄ．７．【答案】Ｃ２π【解析】由图可知φ＝，依题意可得ω＞０，３π２π２πωπ２π因为ｘ∈（０，］，所以ωｘ＋∈（，＋］．２３３２３２π又ｙ＝ｓｉｎｘ，ｘ∈（，３π］的图象如下所示：３【·高三年级质监考试———数学答案 第２页（共１０页）】{#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}π要使函数在区间（０，］恰有一条对称轴和一个对称中心，２３πωπ５８则≤＜２π，解得≤ω＜，故选：Ｃ．２２３３８．【答案】Ｂ１２ｘ－１ｘ≥２【解析】ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＝，又ｆ（ｆ（ｘ））＝２ｆ（ｘ）－１，１{１－２ｘ ｘ＜２１１则ｘ∈［０，］时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＝１－２ｘ∈［，１］，４２ｆ（ｆ（ｘ））＝２ｆ（ｘ）－１＝２（１－２ｘ）－１＝１－４ｘ，１１１ｘ∈［，］时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＝１－２ｘ∈［０，］，４２２ｆ（ｆ（ｘ））＝１－２ｆ（ｘ）＝１－２（１－２ｘ）＝４ｘ－１，１３１ｘ∈［，］时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＝２ｘ－１∈［０，］，２４２ｆ（ｆ（ｘ））＝１－２ｆ（ｘ）＝１－２（２ｘ－１）＝３－４ｘ，３１ｘ∈［，１］时，ｆ（ｘ）＝２ｘ－１＝２ｘ－１∈［，１］，４２ｆ（ｆ（ｘ））＝２ｆ（ｘ）－１＝２（２ｘ－１）－１＝４ｘ－３，得图像如右图所示．故曲线ｙ＝ｆ（ｆ（ｘ）） ｘ∈［０，１］与ｙ＝１１围成的面积为．故选：Ｂ．２９．【答案】ＡＤ１０．【答案】ＣＤ【解析】ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋１，若Ａ点是切点，则ｆ′（１）＝４，切线方程为ｙ－２＝４（ｘ－１），即４ｘ－ｙ－２＝０，故Ｃ正确．若Ａ点不是切点，设切点Ｂ（ｔ，ｔ３＋ｔ）且ｆ′（ｘ）＝３ｘ２＋１，则Ｂ处切线斜率为ｆ′（ｔ）＝３ｔ２＋１，ｔ３＋ｔ－２也可用Ａ、Ｂ两点坐标，求直线ＡＢ的斜率为．ｔ－１ｔ３＋ｔ－２则３ｔ２＋１＝，３ｔ３－３ｔ２＋ｔ－１＝ｔ３＋ｔ－２，ｔ－１１５１７解得点Ｂ为（－，－），故切线斜率为ｆ′（－）＝，２８２４所以切线方程为７ｘ－４ｙ＋１＝０，故Ｄ正确．故选：ＣＤ．【·高三年级质监考试———数学答案 第３页（共１０页）】{#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}１１．【答案】ＡＢ１２．【答案】ＢＣ【解析】（法一）由题意点Ｂ、点Ｃ到α的距离均为３，∴ＢＣ∥α设ＢＣ中点为Ｍ，Ｍ、Ｄ在α内投影为Ｍ′，Ｄ′，则ＭＭ′＝３，ＤＤ′＝２，３３正四面体中设ＡＤ＝ｘ，则ＡＭ＝槡ｘ，ＭＤ＝槡ｘ，２２ｃｏｓ∠ＭＡＤ＝ｃｏｓ（∠ＭＡＭ′－∠ＤＡＤ′）３ｘ２－９１４ｘ２－４３２得＝槡·槡＋·３３ｘ３ｘ槡槡ｘ槡ｘ２２解得ｘ＝２槡３，故Ｃ正确；ＭＨ１则面ＡＢＣ⊥面α，＝，故Ｂ正确．ＭＤ３→→→（法二）设α的单位法向量ｎ＝ｘＡＢ＋ｙＡＣ＋ｚＡＤ，ＡＢ＝ａ２２２ａａ→ａｘ＋ｙ＋ｚ＝３２２２ｘ＝２ＡＢ·ｎ＝３ａ２２→ａ２ａ则ＡＣ·ｎ＝３得ｘ＋ａｙ＋ｚ＝３ 解得２２２ｙ＝→ａ２{２２ＡＤ·ｎ＝２ａａ２ｘ＋ｙ＋ａｚ＝２ｚ＝０２２２→２→２２→２→２２∴ｎ＝２ＡＢ＋２ＡＣ ∴ｎ＝（２ＡＢ＋２ＡＣ）＝１得ａ＝１２，ａ＝２槡３．ａａａａ１３．【答案】４，－４３２３３２２２１３３【解析】含ｘ的项为：ｘ·Ｃ４·ｘ·（－１）＋４ｘ·Ｃ４·ｘ·（－１）＋４·Ｃ４·ｘ·（－１）＝－４ｘ３３＋２４ｘ－１６ｘ，故ａ３＝４；令ｘ＝０，即４＝ａ０，令ｘ＝１，即０＝ａ０＋ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６，∴ａ１＋ａ２＋ａ３＋ａ４＋ａ５＋ａ６＝－４，故答案为：４；－４．３１４．【答案】－２θθθθ２ｓｉｎｃｏｓ２ｓｉｎｃｏｓｓｉｎθｓｉｎθ２２２２【解析】（法一）－＝－１－ｃｏｓθ１＋ｃｏｓθ２θ２θ２θ２θ１－（ｃｏｓ－ｓｉｎ）１＋（ｃｏｓ－ｓｉｎ）２２２２θθθθθθ２ｓｉｎｃｏｓ２ｓｉｎｃｏｓｃｏｓｓｉｎ２２２２２２１θ＝－＝－＝－ｔａｎ２θ２θθθθ２２ｓｉｎ２ｃｏｓｓｉｎｃｏｓｔａｎ２２２２２１３＝－２＝－２２【·高三年级质监考试———数学答案 第４页（共１０页）】{#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}θ２ｔａｎθ２２×２４（法二）因为ｔａｎ＝２，所以ｔａｎθ＝＝＝－，２２θ１－４３１－ｔａｎ２ｓｉｎθｓｉｎθ２ｓｉｎθｃｏｓθ２ｓｉｎθｃｏｓθ２ｓｉｎθｃｏｓθ２ｃｏｓθ则－＝＝＝＝１－ｃｏｓθ１＋ｃｏｓθ（１－ｃｏｓθ）（１＋ｃｏｓθ）１－ｃｏｓ２θｓｉｎ２θｓｉｎθ３３＝２×（－）＝－４２３故答案为：－．２１９３π１５．【答案】槡８１ｅｎ－１１６．【答案】ｌｏｇｅｅｎ－ｅｎ－１４ｘ【解析】设Ｐｎ（ｘｎ，０），则Ｑｎ（ｘｎ，ｆ（ｘｎ）），因为ｆ（ｘ）＝２，所以ｆ′（ｘ）＝２ｘｌｎ２，ｘｎｘｎ则Ｑｎ（ｘｎ，ｆ（ｘｎ））处切线为ｙ＝２ｌｎ２（ｘ－ｘｎ）＋２，切线与ｘ轴相交得Ｐｎ＋１（ｘｎ＋１，０），１ｎ－１ｘ－ｘ＝－，因为ｘ＝０得ｘ＝－，ｎ＋１ｎｌｎ２１ｎｌｎ２１所以ＰＰ＝ＰＰ＝…＝ＰＰ＝，１２２３ｎｎ＋１ｌｎ２ｎ－１１ｆ（ｘ）＝２－ｌｎ２＝，ｎｅｎ－１１１１１１１所以Ｓ＋Ｓ＋…＋Ｓ＝·（１＋＋＋＋…＋）△Ｐ１Ｑ１Ｐ２△Ｐ２Ｑ２Ｐ３△ＰｎＱｎＰｎ＋１２ｌｎ２ｅｅ２ｅ３ｅｎ－１１１－１１１１１１ｅｎ１ｅｎ－１ｅｎ－１＝（１＋＋＋＋…＋）＝·＝·＝ｌｏｇｅ２ｌｎ２ｅ２３ｎ－１２ｌｎ２１２ｌｎ２ｎｎ－１ｎｎ－１４ｅｅｅ１－ｅ－ｅｅ－ｅｅｅｎ－１故答案为：ｌｏｇｅ（其它形式只要正确均得分）．ｅｎ－ｅｎ－１４Ａ＋ＣＢπ１７．解：（１）△ＡＢＣ中Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π，＋＝，２２２Ａ＋ＣＢ所以ｓｉｎ＝ｃｏｓ，ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ），!!!!!!!!!!!!!!!!!!２分２２ＢＡ＋Ｃ又因为ｓｉｎｓｉｎ是ｓｉｎ（Ｂ－Ａ）与ｓｉｎＣ的等差中项，２２ＢＢ得２ｓｉｎｃｏｓ＝ｓｉｎ（Ｂ－Ａ）＋ｓｉｎＣ＝ｓｉｎ（Ｂ－Ａ）＋ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ），２２ＢＢ２ｓｉｎｃｏｓ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＡ，２２ｓｉｎＢ＝２ｓｉｎＢｃｏｓＡ，【·高三年级质监考试———数学答案第５页（共１０页）】{#{QQABJQqEogCoAAJAAAgCAwH4CgMQkBEACIoGBEAMoAAASQFABAA=}#}１ｃｏｓＡ＝（０＜Ａ＜π），!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４分２πＡ＝．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!５分３ＢＤＡＢｃ（２）由题意得，＝＝２，即＝２，所以ｃ＝２ｂ，!!!!!!!!!!!!!!!６分ＤＣＡＣｂ因为Ｓ△ＡＢＤ＋Ｓ△ＡＣＤ＝Ｓ△ＡＢＣ，１１１所以ｂｓｉｎ３０°＋ｃｓｉｎ３０°＝ｂｃｓｉｎ６０°，所以ｂ＋ｃ＝３ｂｃ．２２２槡３因为ｃ＝２ｂ，所以ｂ＝槡，ｃ＝３，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!８分２槡１３３所以Ｓ＝ｂｃｓｉｎ６０°＝槡．!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１０分△ＡＢＣ２８１８．解：（１）∵ａｎ＋１－ａｎ＝２ｎ，∴ａ２－ａ１＝２，ａ３－ａ２＝４，…，ａｎ－ａｎ－１＝２（ｎ－１）．!!!!!!!!!!!!!!!２分由上述ｎ－１个等式相加得ａｎ－ａ１＝２＋４＋…＋２（ｎ－２）＋２（ｎ－１），２∴ａｎ＝１＋２＋４＋…＋２（ｎ－１）＝ｎ（ｎ－１）＋１＝ｎ－ｎ＋１，!!!!!!!!!!!５分２１（２）ａ１＝１，ａｎ＝ｎ－ｎ＋１＞０，所以＞０，ａｎ１１１１１Ｓｎ＝＋＋＋…＋≥＝１，!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!７分ａ１ａ２ａ３ａｎａ１１１１１１当ｎ≥２时，＝＜＝－，!!!!!!!!!!!!９分ａｎ（ｎ－１）＋１ｎ（ｎ－１）(ｎ－１ｎ)ｎ１１１１１１１１１１１∴＜１－，＜－，＜－，…