2024届高三二轮复习“8+4+4”小题强化训练(7)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】或，，则，故选：C.2．如图，在复平面内，复数，对应的点分别为，，则复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在复平面内，复数，对应的点分别为，，则，，得，所以复数的虚部为.故选：D3．若古典概型的样本空间，事件，甲：事件，乙：事件相互独立，则甲是乙的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若，，则，而，，所以，所以事件相互独立，反过来，当，，此时，，满足，事件相互独立，所以不一定，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A4．在平行四边形中，．若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，所以，则.故选：D5．已知为双曲线的左焦点，直线与交于两点，且轴，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】易知直线经过的左顶点，设，因为轴，所以，解得，或（舍去），所以点坐标为，则，整理得，所以，即，解得（舍去），或，所以的离心率为，故C正确.故选：C.6．定义在上的函数和的图象关于轴对称，且函数是奇函数，则函数图象的对称中心为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函数为奇函数，可得，令，可得，所以函数的图象关于点对称，又因为与的图象关于轴对称，所以函数图象的对称中心为.故选：C.7．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球……．记第层球的个数为，则数列的前20项和为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据已知条件有，当时，，，，，，以上各式累加得：，又，所以，经验证符合上式，所以；所以，设数列的前项和为，则，所以.故选：C8．如图，水利灌溉工具筒车的转轮中心到水面的距离为，筒车的半径是，盛水筒的初始位置为与水平正方向的夹角为．若筒车以角速度沿逆时针方向转动，为筒车转动后盛水筒第一次到达入水点所需的时间（单位：），则（） B. C. D.【答案】C【解析】设盛水桶在转动中到水面的距离为，时间为，由题意可得，盛水桶到水面的距离与时间的函数关系如下：，令，即，解得，又，可得，，，故C正确；，，，故D错误；又，解得，故B错误；，解得，故A错误.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数（为虚数单位），则下列说法中正确的是（）A.的共轭复数是 B.C.的辐角主值是 D.【答案】BCD【解析】因为，所以，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D正确.故选：BCD10．已知函数，则（）A.函数为偶函数B.曲线对称轴为C.在区间单调递增D.的最小值为【答案】AC【解析】，即，对于A，，易知为偶函数，所以A正确；对于B，对称轴为，故B错误；对于C，，单调递减，则单调递增，故C正确；对于D，，则，所以，故D错误；故选：AC11．四棱锥的底面为正方形，与底面垂直，，，动点在线段上，则（）A.不存在点，使得 B.的最小值为C.四棱锥的外接球表面积为 D.点到直线的距离的最小值为【答案】BD【解析】对于A：连接，且，如图所示，当在中点时，因为点为的中点，所以，因为平面，所以平面，又因为平面，所以，因为为正方形，所以.又因为，且，平面，所以平面，因为平面，所以，所以A错误；对于B：将和所在的平面沿着展开在一个平面上，如图所示，则的最小值为，直角斜边上高为，即，直角斜边上高也为，所以的最小值为，所以B正确；对于C：易知四棱锥的外接球直径为，半径，表面积，所以C错误；对于D：点到直线距离的最小值即为异面直线与的距离，因为，且平面，平面，所以平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离，过点作，因为平面，所以,又,且,故平面，平面，所以，因为，且，平面，所以平面，所以点到平面的距离，即为的长，如图所示，在中，，，可得，所以由等面积得，即直线到平面的距离等于，所以D正确，故选：BCD.12．已知圆，直线l过点，若将圆C向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度得到圆，则下列说法正确的有（）A.若直线l与圆C相切，则直线l的方程为B.若直线l与圆C交于A，B两点，且的面积为2，则直线l的方程为或C.若过点的直线与圆C交于M，N两点，则当面积最大时，直线的斜率为1或D.若Q是x轴上的动点，，分别切圆于R，S两点，则直线RS恒过定点【答案】BCD【解析】对于A选项：当直线l垂直于x轴时，其方程为，符合题意．当直线l不垂直于x轴时，设直线l的方程为，即，则，解得，所以直线l的方程为，即．综上，直线l的方程为或，所以A错误；对于B选项：由题意知直线l斜率存在且不为0，故设直线l的方程为，即．设圆心C到直线l的距离为，则，即，解得，则，解得或．所以直线l的方程为或，所以B正确；对于C选项：可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，即，所以圆心到直线的距离．因为,当且仅当，即时取等号.由，得，解得或，所以C正确；对于D选项：由题意知圆的方程为，圆心．设，则以为直径的圆的圆心为，半径为，则圆D的方程为，整理得，圆与圆D的公共弦所在直线即为直线RS，将两式相减，可得直线RS的方程为，即．令解得即直线RS恒过定点，所以D正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知指数函数的图象经过点，则__________.【答案】4【解析】由题意设，且，图象经过点，则，解得，所以，.故答案为：4.14.与圆台的上、下底面及侧面都相切的球，称为圆台的内切球，若圆台的上下底面半径为，，且，则它的内切球的体积为______.【答案】【解析】由题意，画出圆台的直观图，其中为圆台的母线长，，分别为上、下底面的圆心，点为内切球的球心，点为球与圆台侧面相切的一个切点.则由题意可得：，.因此可得：内切球半径，即得内切球的体积为.故答案为：15.甲和乙两个箱子中各装有10个除颜色外完全相同的球，其中甲箱中有4个红球、3个白球和3个黑球，乙箱中有5个红球、2个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用、和表示由甲箱取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，用B表示由乙箱取出的球是红球的事件，则__________【答案】【解析】由题意得，，，若发生，此时乙箱中有6个红球，2个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，3个白球和3个黑球，则，先发生，此时乙箱中有5个红球，2个白球和4个黑球，则．，；.故答案为：16．已知为拋物线的焦点，过点的直线与拋物线交于不同的两点，，拋物线在点处的切线分别为和，若和交于点，则的最小值为__________.【答案】10【解析】的焦点为，设直线方程为，.联立直线与抛物线方程有，则.又求导可得，故直线方程为.又，故，同理.联立可得，解得，代入可得，代入韦达定理可得，故.故，当且仅当，即时取等号.故答案为：10