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2024届江苏省连云港市高三上学期一模数学试题(参考答案)
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2023~2024学年度第一学期高三年级期末调研测试数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。1.A2.B3.C4.C5.A6.B7.D8.C二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。9.BD10.BC11.ACD12.BCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。24313.(4)(2)10xy−++=22(或xyxy22+−++=84100)14.−15.116.a32516四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。.解:()设等比数列的公比为.171anq41Saaaq=++=++=4414,得q=2或q=,……………………………………………2分3123q21当q=2时,a=2;当q=时,a=8.由a为递增数列,则a=2,q=2,121n1nn−1所以an==222.………………………………………………………………………………4分nnn−−12(2)设Tnn=++++−123252(21)2,Tn=++++−123nnn−−−123252(21)1n2T相减得:n=+++++−−22(2222nnnn−−−)(21)1231n…………………………………………7分22(12)−n−1=+−−22(21)nn=+−−−2(24)(21)nn+1n=−+32(23)nn…………………………9分12−n+1所以Tnn=32−(4+6).…………………………………………………………………………10分18.(1)连接AC11,交BD11于点H,A1111BBC1在梯形ABCD1111中,AB11=1,BC11=2,CD11=4,所以==,B1111CCD2又=A1=B1CB11C1D190,所以△ABCBCD111∽△111,则BACCBD111=111,因为BACACB111+111=90,所以CBDACB111+111=90,则=C11HB90,即BDAC11⊥11.…………………………………………………………………3分直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD1111,因为BD11平面ABCD1111,所以B1D1⊥AA1.数学答案第1页,共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}因为AA1、AC11平面AA11C,AA1111ACA=,所以BD11⊥平面AA11C.……………………5分因为AC1平面,所以AC1⊥B1D1.………………6分z法二:以{C,,}DCBCC1为正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,D1Cx−yzC(0,0,0)D(4,0,0)B(0,2,0)A(1,2,0)C1HB1C1(0,0,2),D1(4,0,2),B1(0,2,2),A1(1,2,2).…………3分A1(1)因为AC1=−(1−,2,2),BD11=−(4,2,0),xDC所以ACBD=−−(1,2,2)−(4,2,0)=−++=4400,111ABy所以AC111B⊥D,即AC111B⊥D.…………………………6分(2)设平面B1CD与平面B11CD的一个法向量分别为mx=yz(,,111)与nx=yz(,,222),因为CB1=(0,2,2),CD1=(4,0,2),CD=(4,0,0),所以m⊥CB1mCByz=+=111220由得,则x1=0,令y1=1得z1=−1,所以m=−(0,1,1).…8分m⊥CDmCDx==401nCB⊥1nCByz=+=122220由得,令x2=1,则z1=−2,y2=2,所以n=−(1,2,2).…10分nCD⊥1nCDxz=+=112420mn++0−11−2(1)(2)22所以cos,mn===,|||mn|01(222222++1)12(−++2)−322所以二面角DB−−CD的平面角的余弦值为.……………………………………………12分11319.解:(1)在△ABC中,b=2,c=3,abc222+−11由余弦定理得cosC==,即411200aa2−−=,所以a=4.……………………2分216ab11315sin1CC=−=−=cos1(22),……………………………………………………………4分1616ac4315由正弦定理=,得=,所以sinA=.………………………………5分sinACsinsinA315416(2)因为AD=2DB,AB==c3,所以AD=2,DB=1.在△ABC中,由余弦定理得baaB222=+−323cos,即aba22−+=96,22125在△BCD中,由余弦定理得()2=a2+12−2a1cosB,即aa2−=2,33所以a2−b2+9=3a2−25,即2ab22+=34①………………………………………………8分数学答案第2页,共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}sin2sinCB32b因为tan2taCB=n,所以=.又c=3,由正弦定理得=,coscCBoscoscCBosabcacb222222+−+−2cos3cosbCB=,即23b=,则ab22+=327②………………11分22abac联立①②可得a2=15,所以a=15.……………………………………………………………12分20.(1)记活动参与者“第1次操作时取到白球”为事件A,“第2次操作时取到白球”为事件B,12112+11则PA()=,PA()=,PBA(|)==,PBA(|)==.……………………………2分33314+314+12211所以P()()()()()(|)()(|)BP=+=+=+=+=ABABPABPABPAPBAPAPBA,343431所以活动参与者第2次操作时取到白球的概率为.……………………………………………5分3(2)X=2,3,4,5,…………………………………………………………………………………6分12312121221221PX(2)===,PX(3)==++=,34510345345345523121312332342PX(4)==++=,PX(5)===,…………………10分345345345103455则随机变量X的概率分布为23451132P1051051132所以,随机变量的数学期望EX()23454=+++=.………………………12分105105c2bac222−1121.(1)因为e==,所以==−=−=11e2,a2aa222241xy22结合+=1可得a2=6,b2=3,所以椭圆E的方程为+=1.………………………2分ab2263113直线l:yx+2=−(−1),即yx=−−,代入得xx2+2−1=0,222设Mxy(,)11,Nxy(,)22,则xx12+=−2,xx12=−1,1所以|MN|=+1k2|x−=+x|1k2(x+x)2−4xx=+−−−−=1()2(2)24(1)10,1212122|2++23|7又点A(2,1)到直线l:xy+2+3=0的距离d==5,55数学答案第3页,共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}1177所以△AMN的面积SMNd===||1052.……………………………………5分225251010(2)当直线l斜率不存在,即l:x=1时,y2=,不妨取M(1,),N(1,)−,2221010−1−+110110因为A(2,1),B(2−−,1),则k==−21,k==−2(1),1122−21232+10110131所以kkkkk−=−=−−−==2(2)(1)(1).…………………………………7分12212232322xy22当直线斜率存在时,设:yk+x=2−(1),代入E:+=1得63(21)4(2)2(2)60kxkkxk222+−+++−=,48kk2+282kk2++设Mx(y,),Nx(,y),则xx+=,xx=,…………………………8分11221221k2+1221k2+y1−1y2+1kx1−k−3kx2−k−1则k1k2−2k2=(k1−2)k2=(−2)=(−2)x1−2x2+2x1−2x2+2[(k−−+2)xk1](kxk−−1)(k2−2kxxkk)−−−−−+−(22)xkkxk(2)21==121212(x1−2)(x2+2)x1x2+2x1−2x2−4(2kk222)()()12−−−++−xxkkxxkx+=12121x1xxxx2121−+−+2()44(2kk2222222)(282)−+kkkk+()(48kkkkxkkx−−++−+)(1)(21)+−−274−+12111.===2222282kkkkkxkkx+2(48+)−+−+4(21)+−−41482−42+121综上可知,kkk−=2.…………………………………………………………………………12分1222法二:设:xmy−=+1(2),代入:得(m2+2)y2+(4m2+2)4my+m2+450m−=,−−42mm24mm2+−45设,,则yy+=,yy=,………………………6分12m2+212m2+2设直线AN的斜率为k3,则y1−1y2−1y1−1y2−1kk13+=+=+x1−2x2−2my1+2m−1my2+2m−1(y−1)(mym+−+−21)(y1)(mym+−21)2myymyy+−+−+(1)()4m212211212==222(mymmym1+21)(−2+21)−myy12+(2mmyy−)(1+2)(21)+m−2m(4m2+−+−−−−−4m5)(m1)(4m22m)(4m2)(m2+2)12m2−+16m4===2,…10分mmm2(42+−+−−−+−++45)(2mmmmmmm2)(422)(4241)(22)6mm2−+82数学答案第4页,共6页{#{QQABLQIEogAgQABAAAgCEwGqCAIQkBGACCoOgAAIIAAAyRFABAA=}#}yyyy+−−−11112211又2222,即,……………………………分kk23====−22k3=−11xxxy2222+−−−−22462422k211所以k1+k3=k1−=2,则21k122k4k−=,所以k122kk−=2.……………………………12分2k22法三:设直线l:xm−y=1+(2),即xmy−+=−+21(13),所以xmym−−−=−2(1)31.xy22椭圆E:+=1,即xy22+=26,所以(22)2(11)6xy−++−+=22,63即(2)2(1)4(2)4(1)0xyxy−+−+−+−=22,1则(x−+−+−+−2)222(y1)4[(x2)(y1)][x−−−=2m(y1)]0,31m−yy−−11整理得(22)()(44)330mmm−−−++=2,xx−−22yy12−−1144m−设直线AN的斜率为k3,则kk13+=+==2…………………………………10分xxm12−−−2222又,即,……………………………11分所以,则,所以.……………………………12分122.(1)当a=1时,f(x)=|ex−x|+x2,2设hxx()e=−x,由hx()e10=−=x得x=0,则hx()在(,0−)上单调递减,在(0,)+上单调递增,1所以hxh()(0)10≥=,则e0x−x,所以fxxx()e=−+x2.………………………………2分2因为fxx()e1=+−x在(,)−+上单调递增,且f(0)0=,则x(,0−)0(0,)+fx()-0+fx()↘极小值↗所以,fx()的最小值为f(0)

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