2024年1月“九省联考”考后提升卷高三数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.现有一组数据：，则这组数据的第85百分位数是()A.652 B.668 C.671 D.674【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义，求得，即可确定第85百分位数为第11个数，可得答案.【详解】由题意这组数共12个，则，将这组数据从小到大排列，故这组数据的第85百分位数为第11个数，即671，故选：C2.已知椭圆的上顶点、右顶点、左焦点恰好是等腰三角形的三个顶点，则椭圆C的离心率为()A. B. C. D.2.【答案】D【解析】易知等腰三角形的三边为;则即有,解得e,故选：D.3.已知为数列的前项和，且满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题，当时，，当时，进而分奇偶性讨论得，为正偶数，，为正奇数，再求和即可.【详解】解：因为，所以，当时，，解得，当时，，所以，当为偶数时，，故，为正奇数；当为奇数时，，即，故，为正偶数；所以，故选：A4..已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是()A.若平面，则，B.存在平面，使得，，C.有且只有一对互相平行的平面和，其中，D.至少存在两对互相垂直的平面和，其中，【答案】A【分析】由线面关系判断ABD；由线面垂直判定判断C；【详解】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误；对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确；对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个，过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确；对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D正确；故选：A.5.某学校举办运动会，径赛类共设100米､200米､400米､800米､1500米5个项目，田赛类共设铅球､跳高､跳远､三级跳远4个项目.现甲、乙两名同学均选择一个径赛类项目和一个田赛类项目参赛，则甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于()A.70 B.140 C.252 D.504【答案】B【分析】由分类加法、分步乘法计数原理以及排列组合的计算即可得解.【详解】由题意若甲、乙的相同的参赛项目为径赛类项目，则有种选法，他们再分别从田赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，所以此时满足题意的选法有，由题意若甲、乙的相同的参赛项目为田赛类项目，则有种选法，他们再分别从径赛类项目中各选一个（互不相同）即可，这时候有种选法，所以此时满足题意的选法有，综上所述，甲、乙的参赛项目有且只有一个相同的方法种数等于种.故选：B6.在棱长为1的正方体中，在侧面（含边界）内运动，在底面（含边界）内运动，则下列说法不正确的是（）A.若直线与直线所成角为30°，则点的轨迹为圆弧B.若直线与平面所成角为30°，则点的轨迹为双曲线的一部分C.若，则点的轨迹为线段D.若到直线的距离等于到平面的距离，则点的轨迹为抛物线的一部分【答案】C【解析】【分析】画出正方体，根据各选项的不同条件对图形进行分析并运算即可得出轨迹问题的结论.【详解】直线与直线所成角即为，在中，，∴，故在以为圆心，为半径的圆落在侧面内的圆弧上，A正确；过作于点（如图），设，，直线与平面所成角即为，在中，，从而，故点的轨迹为双曲线的一部分，故B正确；在中，，从而，故在以为圆心，为半径的圆落在底面内的圆弧上，C错误；到直线的距离等于到平面的距离，即到点的距离等于到直线的距离，故点的轨迹为抛物线的一部分，故D正确.故选：C.7.已知角的终边上一点的坐标为，则的值为()A.0 B. C. D.【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出，再根据两角和的正切公式展开代入化简求解.【详解】角的终边上一点的坐标为所以，则，故选：B8.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2【答案】B【解析】【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得.【详解】因为，为的中点，所以，，所以，又，，所以，所以.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.将函数的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到的图象，则（）A.函数是偶函数B.x＝－是函数的一个零点C.函数在区间上单调递增D.函数的图象关于直线对称【答案】BCD【解析】【分析】首先求出的解析式，然后根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，可得，再将图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得，对于A选项，令，则，，故函数不是偶函数，A不正确；对于B选项，因为，故是函数的一个零点，B正确；对于C选项，当时，，所以函数在区间上单调递增，C正确；对于D选项，因为对称轴满足，解得，则时，，所以函数的图象关于直线对称，D正确.故选：BCD.10.已知z1与z2是共扼复数，以下四个命题一定是正确的是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设，分别求出，得到A不正确；根据复数的运算，可得B正确；根据，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．【详解】设，则，，所以A不正确；又由，，所以，所以B正确；由，所以C正确；由不一定是实数，所以D不一定正确.故选：BC11.已知定义在上的函数满足，且为奇函数，则下列说法一定正确的是（）A.函数的周期为B.函数的图象关于对称C.函数为偶函数D.函数的图象关于对称【答案】BC【解析】【分析】由得函数的一个周期，由是奇函数得函数的对称中心，两条件结合得函数的奇偶性.【详解】由，得，将代入，，即，所以函数的一个周期为7，A项错误；由是奇函数得，因为和，所以，即，所以的图象关于中心对称，B项正确，D项错误；因为，，所以，将代入，得，即函数为偶函数，C项正确.故选：BC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知集合，若，且，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】先解分式不等式，即可得出集合，再由，且，即可求出实数的取值范围.详解】由可得：，解得：，所以，因为，且，所以.故答案为：.13.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则【答案】【分析】设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，根据圆锥的侧面积公式可得，再结合圆心角之和可将分别用表示，再利用勾股定理分别求出两圆锥的高，再根据圆锥的体积公式即可得解.【详解】解：设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为，则，所以，又，则，所以，所以甲圆锥的高，乙圆锥的高，所以.14.已知数列满足，,则的前项积的最大值为【答案】1【分析】先通过递推关系推出数列的周期为，然后个数为一组，分别计算的表达式后进行研究.【详解】由可知，，，亦可得：，两式相除得：，即，所以数列是以为周期的周期数列，由得：.记数列的前项积为，结合数列的周期性，当，则，记，为了让越大，显然需考虑为偶数，令，结合指数函数的单调性，则，即；类似的，.综上所述，的前项积的最大值为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）设函数，，，已知曲线在点处的切线与直线垂直．（1）求a的值；（2）求的单调区间；【答案】（1）2（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用导数几何意义可得关于a的方程，解方程即可得出答案；（2）对求导，分和讨论的正负，即可求出的单调性；【小问1详解】的定义域为，，由于直线的斜率为，.6分【小问2详解】，，①当时，，在R上单调递增；②当时，令有，当时，，单调递减，当时，，单调递增.综上所述：，的单调递增区间为R，，的单调减区间为，的单调增区间为.13分【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义、求单调区间和利用导数求解恒成立问题；本题求解恒成立问题的关键是将恒成立问题转化为求函数的最值.16．（15分）为倡导公益环保理念，培养学生社会实践能力，某中学开展了旧物义卖活动，所得善款将用于捐赠“圆梦困境学生”计划.活动共计50多个班级参与，1000余件物品待出售.摄影社从中选取了20件物品，用于拍照宣传，这些物品中，最引人注目的当属优秀毕业生们的笔记本，已知高三1，2,3班分别有的同学有购买意向.假设三个班的人数比例为6：7:8(1)现从三个班中随机抽取一位同学：(i)求该同学有购买意向的概率；(ii)如果该同学有购买意向，求此人来自2班的概率；(2)对于优秀毕业生的笔记本，设计了一种有趣的“掷骰子叫价确定购买资格”的竞买方式：统一以0元为初始叫价，通过掷骰子确定新叫价，若点数大于2，则在已叫价格基础上增加1元更新叫价，若点数小于3，则在已叫价格基础上增加2元更新叫价；重复上述过程，能叫到10元，即获得以10元为价格的购买资格，未出现叫价为10元的情况则失去购买资格，并结束叫价.若甲同学已抢先选中了其中一本笔记本，试估计其获得该笔记本购买资格的概率(精确到0.01).【答案】(1)(i)(2)0.75.【分析】(1)设事件“该同学有购买意向”,事件“该同学来自i班”(i=1,2,3).根据全概率公式即可求解,根据条件概率公式即可求解(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为,每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为,叫价出现元的情况只有下列两种：=1\*GB3①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为=2\*GB3②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为.于是得到,构造等比数列,结合累加法可求解。【详解】(1)(i)设事件A=“该同学有购买意向”，事件Bi=“该同学来自i班”由题意可知,所以，由全概率公式可得8分(2)由题意可得每次叫价增加1元的概率为,每次叫价增加2元的概率为.设叫价为元的概率为,叫价出现元的情况只有下列两种：=1\*GB3①叫价为元，且骰子点数大于2，其概率为=2\*GB3②叫价为元，且骰子点数小于3，其概率为于是得到,易得由于于是当时,数列是以首项为公比为的等比数列,故.于是=$于是，甲同学能够获得笔记本购买资格的概率约为0.75.15分【点睛】关键点睛：第二问中关键是设叫价为元的概率为,利用叫价为元是在叫价为元的基础上再叫价1元或在叫价为(元的基础上再叫价2元，从而确定与的关系，再结合数列中的构造法和累加法即可求解.17．（15分）如图，在多面体中，底面为菱形，平面，，且为棱的中点，为棱上的动点.（1）求二面角的正弦值；（2）是否存在点使得平面？若存在，求的值；否则，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）连接交于点，作平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即得.（2）利用（1）中信息，假定存在符合条件的点，利用空间位置关系的向量证明求解即得.【小问1详解】连接交于点，由四边形为菱形，得，过点作平面，显然直线两两垂直，以为原点，直线分别为建立空间直角坐标系，由平面，得，又，且，则，，设平面，平面的法向量分别为，则，取，得，则，取，得，设二面角的大小为，则，因此，所以二面角的正弦值为.8分【小问2详解】存在符合题意，且.理由如下：令，而，棱中点，则，，，若平面，而平面的法向量，则，即，因此，解得，即，则，所以在点使得平面，.15分18．（17分）与x轴不垂直的直线交抛物线T:于M